एक चल बिन्दु संख्या क्या है?

असली (या वास्तविक) संख्या, जहां वे (, के रूप में अंग्रेजी बोलने वाले देशों में प्रथागत है शायद बिंदु) एक अपूर्णांश और प्रतिपादक बिन्दु संख्या तैर रहे हैं के रूप में जमा हो जाती है की प्रस्तुति। इस के बावजूद, नंबर एक निश्चित सापेक्ष सटीकता और पूर्ण में बदलाव के साथ प्रदान की जाती है। हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों - प्रतिनिधित्व जो सबसे अधिक बार प्रयोग किया जाता है, मानक आईईईई 754 गणितीय कार्य है कि फ्लोटिंग प्वाइंट संख्या कंप्यूटिंग प्रणालियों में लागू किया जाता है का उपयोग मंजूरी दे दी।

प्वाइंट या अल्पविराम

"चल बिन्दु" - दशमलव विभाजक की विस्तृत सूची उन अंग्रेजी बोलने वाले देशों और anglofitsirovannye, जहां पूरे मुद्दे के एक आंशिक भाग द्वारा अलग नंबरों के रिकॉर्ड, क्योंकि इन देशों में से शब्दावली नाम चल बिन्दु अपनाया पहचान करता है। रूस, परंपरा के पूरे, अल्पविराम से अलग की आंशिक हिस्सा है, इसलिए इसे इसी अवधारणा ऐतिहासिक दृष्टि से शब्द "चल बिन्दु" मान्यता प्रदान की है का प्रतिनिधित्व करता है। हालांकि, तकनीकी दस्तावेज में आज और रूसी साहित्य में यह दोनों विकल्पों की अनुमति है।

कि कहीं भी लाइनों संख्याओं में फिट कर सकते हैं - शब्द "चल बिन्दु" तथ्य यह है कि एक स्थितीय संख्या प्रतिनिधित्व अल्प विराम (एक कंप्यूटर सामान्य दशमलव या बाइनरी) है से जन्म लिया है। यह सुविधा इसे अलग से निर्धारित करने के लिए सुनिश्चित है। इसका मतलब है कि चल बिन्दु संख्या का प्रतिनिधित्व घातीय संकेतन का एक कंप्यूटर कार्यान्वयन के रूप में माना जा सकता है। जब कि सापेक्ष सटीकता अपरिवर्तित रहता है एक प्रतिनिधित्व प्रारूप तय सूत्री और पूर्णांक संख्या है कि मानों की श्रेणी के इस तरह के एक प्रतिनिधित्व उपयोग करने का लाभ काफी बढ़ता है।

उदाहरण

अगर तय की संख्या में अल्पविराम, तो जला यह केवल एक प्रारूप है। उदाहरण के लिए, आंशिक भाग में संख्या में छह का एक सा है और दो अंक दिए गए। यह केवल इस तरह से किया जा सकता है: 123456.78। चल अभिव्यक्ति के लिए पूरी गुंजाइश दे बिन्दु संख्या का प्रारूप। उदाहरण के लिए, एक ही आठ अंक दिए गए। रिकॉर्डिंग विकल्प किसी भी हो सकता है अगर प्रोग्रामर एक दो अंकों कर्तव्य अतिरिक्त क्षेत्र लापरवाही से काम करना है, जहां यह एक्स्पोनेंट्स कि आम तौर पर 10, और 0 से 16 के लिए कर रहे रिकॉर्ड करेगा नहीं है, और निर्वहन करते हुए कुल संख्या दस 8 + 2 हो जाएगा।

रिकॉर्डिंग, जो आप चल बिन्दु के साथ संख्या प्रारूपित कर सकते हैं में से कुछ embodiments: 12345678000000000000; .0000012345678; १२३.४५,६७८; 1.2345678 और इतने पर। इस प्रारूप में, वहाँ भी गति की माप की एक इकाई है! बल्कि, कंप्यूटर प्रणाली है जो जिस गति से कंप्यूटर संचालन करता है, जहां चल बिन्दु संख्या का प्रतिनिधित्व है रिकॉर्ड का प्रदर्शन। इस प्रदर्शन के फ्लॉप (प्रति सेकंड चल बिन्दु आपरेशनों है, जो एक चल बिन्दु के साथ प्रति सेकंड लेनदेन की संख्या के लिए अनुवाद) के संदर्भ में मापा जाता है। यह माप कंप्यूटर सिस्टम की गति में बुनियादी इकाई है।

संरचना

, के रूप में इस प्रकार अनिवार्य भागों के अनुक्रम को देख, क्योंकि इस रिकॉर्ड घातीय है, जो एक अपूर्णांश और व्यवस्था के रूप में वास्तविक संख्या से पता चलता चल बिन्दु प्रारूप में रिकार्ड संख्या आवश्यक है। ये बहुत बड़ा और बहुत कम संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक है, वे बहुत आसान को पढ़ने के लिए कर रहे हैं। आवश्यक भागों: दर्ज की गई संख्या (एन), अपूर्णांश (एम), संकेत (पी) के आदेश और व्यवस्था (एन)। हस्ताक्षर के अंतिम दो सुविधाओं। इसलिए, एन = ^एम n ^पी। तो फ्लोटिंग प्वाइंट संख्या लिखा। उदाहरण अलग किया जा जाएगा।

1. यह, एक लाख की संख्या रिकॉर्ड करने के लिए तो नहीं के रूप में शून्य में खो जाना आवश्यक है। 1000000 - यह एक सामान्य रिकॉर्डिंग, गणित है। एक कंप्यूटर इस प्रकार है: ^1.0। 10 ^6। यही कारण है, छठे सत्ता में दस है - तीन संकेत है, जो शून्य के रूप में कई के रूप में छह में फिट। इस प्रकार जहां तुरंत निश्चित और चल बिन्दु की संख्या का प्रतिनिधित्व होता है वर्तनी में अंतर का पता लगाने कर सकते हैं।

2. और इस तरह के एक कठिन संख्या १४३५०००००० (एक अरब चार सौ और तीस-पाँच हजार) भी बस लिखा जा सकता है: ^{1,435। 10 सितंबर,} केवल। तो यह एक ऋण चिह्न किसी भी संख्या लिख सकते हैं के साथ है। यही है, और निश्चित और चल बिन्दु की संख्या के साथ एक दूसरे से अलग।

लेकिन यह कैसे कम हो के और अधिक है? हाँ, भी आसानी से।

3. उदाहरण के लिए, दस लाखवाँ चिह्न के रूप में? = 0.000001 ^1.0। 10 ^-6। बहुत मदद की और लेखन नंबर, और इसे पढ़ने के।

4. एक और अधिक जटिल? पांच सौ और चालीस छठे बिलियन: ०.००००००५४६ = ^546। 10 ^-9। यहाँ। चल बिन्दु की सीमा बहुत व्यापक है।

आकार

फार्म संख्या सामान्य या सामान्यीकृत हो सकता है। सामान्य - हमेशा चल बिन्दु संख्या की शुद्धता सम्मान करते हैं। ऐसा लगता है कि इस रूप में अपूर्णांश, खाते में हस्ताक्षर लेने के बिना, अंतराल 0 1 के आधे, तो 0 ⩽ एक <1 है। में नहीं की संख्या के सामान्य रूप इसकी शुद्धता खो देता है। सामान्य रूप से नुकसान यह है कि कई नंबर अलग अलग तरीकों से लिखा जा सकता है, कि अस्पष्ट है। एक ही नंबर का उदाहरण विभिन्न रिकार्डों: 0 = 0.0001, ^{000001। 10} फ़रवरी = ^{0.00001। 10} जनवरी = ^0.0001। 10 ⁰ = ^0.001। 10 ^-1 = ^0.01। 10 ^-2, और इतना अधिक हो सकता है। यही कारण है कि कंप्यूटर दस (शामिल नहीं) के लिए एक अलग सामान्यीकृत अंकन, जहां अपूर्णांश दशमलव इकाइयों के मूल्य (सम्मिलित) मान लिया गया है का उपयोग करता है, और इस प्रकार है, और एक ही तरीके से अपूर्णांश द्विआधारी संख्या एक (सम्मिलित) दो के लिए (नहीं के बीच एक मूल्य है सम्मिलित)।

तो, 1 ⩽ एक <10 इस -। द्विआधारी संख्या चल बिन्दु के साथ, और किसी भी संख्या (शून्य को छोड़कर) की रिकॉर्डिंग के लिए इस प्रपत्र एक अनोखा तरीका कैप्चर करता है। शून्य के इस प्रकार की कल्पना करने में असमर्थता - लेकिन यह भी वहाँ एक खामी है। इसलिए सूचना विज्ञान विशेष संख्या 0 चिह्न (बिट) के उपयोग के लिए प्रदान करता है। एक सामान्यीकृत रूप में शून्य को छोड़कर द्विआधारी संख्या में अपूर्णांश की (MSB) का पूर्णांक भाग 1 (अंतर्निहित इकाई) के बराबर है। इस रिकॉर्ड मानक आईईईई 754 स्थितीय संख्या प्रणाली, जिसमें आधार दो से अधिक (त्रिगुट, चतुर्धातुक और अन्य प्रणालियों), इस संपत्ति खरीदी नहीं है प्रयोग किया जाता है।

reals

चल बिन्दु और बस के रूप में यह केवल एक है, लेकिन एक बहुत ही सुविधाजनक तरीका एक वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के, मूल्यों और सटीकता की सीमा के बीच एक समझौता नहीं है क्योंकि यह थे, आम तौर पर कर रहे हैं के साथ वास्तविक संख्या। इस घातीय संकेतन के अनुरूप है, केवल कंप्यूटर पर प्रदर्शन किया। फ्लोटिंग प्वाइंट संख्या - अलग-अलग बिट्स का एक सेट एक चिह्न (हस्ताक्षर), आदेश (प्रतिपादक) और अपूर्णांश (मैंटिस) में बांटा गया है। डिग्री और एक बिट संख्या के चिन्ह दर्शाता है - सबसे आम प्रारूप आईईईई बिट्स कि अपनी अपूर्णांश, दूसरे भाग का एक हिस्सा सांकेतिक शब्दों में बदलना का एक सेट के रूप में 754 फ्लोटिंग प्वाइंट नंबर है: शून्य - अगर यह सकारात्मक है, इकाई - संख्या ऋणात्मक है यदि। , एक सामान्यीकृत रूप में इसके आंशिक हिस्सा - - पूरी प्रक्रिया एक नंबर (कोड-शिफ्ट), और अपूर्णांश द्वारा दर्ज की गई है बाइनरी सिस्टम में।

प्रत्येक चिन्ह - एक सा है कि सभी फ्लोटिंग प्वाइंट संख्या के लिए चिन्ह दर्शाता है। अपूर्णांश और व्यवस्था - पूर्णांक हैं, वे, हस्ताक्षर के साथ और चल बिन्दु संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रक्रिया एक घातीय या प्रतिपादक कहा जा सकता है। नहीं सभी वास्तविक संख्या उनके सही अर्थ में एक कंप्यूटर में व्यक्त किया जा सकता है, दूसरों के अनुमानित मान प्रस्तुत कर रहे हैं। एक बहुत सरल विकल्प - एक निश्चित बिंदु है, जहां वास्तविक और पूरे हिस्सा अलग रखी जाएगी साथ एक वास्तविक संख्या प्रस्तुत करने के लिए। सबसे अधिक संभावना है, ताकि पूर्णांक हिस्सा हमेशा एक्स बिट्स आवंटित किया है, और एक आंशिक - वाई बिट्स। लेकिन प्रोसेसर की वास्तुकला ऐसी पद्धति की जानकारी नहीं है, लेकिन क्योंकि वरीयता चल बिन्दु की संख्या को दिया जाता है।

इसके अलावा

चल बिन्दु संख्या का जोड़ काफी सरल है। आईईईई 754 मानक एकल परिशुद्धता संख्या के संबंध में यह बिट्स की एक बड़ी संख्या है, तो यह सबसे छोटी फ्लोटिंग प्वाइंट नंबर लेने के लिए एक बेहतर विचार के साथ उदाहरण के लिए आगे बढ़ने के लिए, बेहतर है। उदाहरण के लिए, दो नंबर - एक्स और वाई

चरणों इस प्रकार हैं:

क) संख्या सामान्यीकृत रूप में प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए। यह स्पष्ट रूप से एक छिपे हुए एक है। एक्स = ^1.110। 2 ^2, और वाई = ^1,000। 2 ^0।

ख) रचना केवल प्रदर्शकों बराबर कर सकते हैं की प्रक्रिया जारी है, लेकिन यह, यह सामान्यीकृत संख्या के मूल्य के अनुरूप होगा Y के मूल्य को फिर से लिखने की जरूरत है, वास्तव में - unnormalizes।

डिग्री 2 का घातांक के बीच अंतर की गणना - 0 = 2. अब, इन परिवर्तनों के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए कदम अपूर्णांश कि है, दूसरे कार्यकाल के सूचकांक को 2 जोड़ने के लिए, इस प्रकार बाईं ओर दो अंक में एक अल्पविराम छिपा इकाइयों घूम रहा है। 0.0100 ^{प्राप्त की है। 2 फरवरी।} यह पिछले मान वाई, फिर वहाँ पहले से ही एक वाई 'है के बराबर हो जाएगा।

ग) अब आप अपूर्णांश एक्स और वाई की संख्या समायोजित ऊपर जोड़ने की जरूरत

1,110 + 0,01 = 10,0

प्रदर्शक अभी भी एक्स पैरामीटर, जो 2 के बराबर है का प्रतिनिधित्व करती है।

छ) पिछले चरण में प्राप्त राशि, सामान्य इकाई में स्थानांतरित कर दिया है, तो आप प्रतिपादक योग बदलाव और को दोहराना होगा। 10.0 दशमलव बिंदु के बाईं ओर दो बिट्स के साथ, संख्या अब सामान्य बनाने में, यानी, एक बिंदु द्वारा छोड़ा को अल्पविराम ले जाते हैं, और प्रतिपादक क्रमश: 1. की वृद्धि हुई यह ^1,000 पता चला है आवश्यक ^{है। 2 मार्च।}

ङ) यह समय एकल-बाइट प्रणाली में एक चल बिन्दु संख्या परिवर्तित करने के लिए है।

निष्कर्ष

आप देख सकते हैं, कुछ भी है कि अल्पविराम तैरता जोड़ने इन नंबरों भी मुश्किल नहीं है। जब तक, ज़ाहिर है, संख्या अधिक के बीच में कम प्रतिपादक के लाने के लिए छोड़कर, साथ ही यथास्थिति की बहाली (उपरोक्त उदाहरण में, यह एक्स के लिए वाई था), मुआवजा के मुद्दे यानी - अपूर्णांश के बाईं ओर दशमलव बिंदु चलते हैं। जब इसके अलावा पहले से ही लागू किया गया है, यह बहुत संभव है और अभी भी एक समस्या है - perenormirovanie और काट-छांट बिट अगर उनकी संख्या यह प्रतिनिधित्व करने के लिए नंबर से मेल नहीं खाता।

गुणन

बाइनरी सिस्टम दो तरीकों से चल बिन्दु संख्या गुणा प्रदान करता है। इस कार्य गुणा है, जो कम से कम महत्वपूर्ण बिट के साथ शुरू होता है और जो गुणक में उच्च आदेश बिट के साथ शुरू होता है द्वारा किया जा सकता है। दोनों ही मामलों के संचालन क्रमिक रूप से आंशिक उत्पाद stacking के एक नंबर होते हैं। ये अभियान गुणक बिट्स के अलावा द्वारा नियंत्रित कर रहे हैं। तो, अगर गुणक के टुकड़े में से एक एक इकाई है, गुण्य के आंशिक उत्पादों की राशि एक संबंधित बदलाव बढ़ता है। गुणक के अंकों शून्य crept हैं, जबकि गुण्य नहीं जोड़ा गया है।

गुणन सिर्फ दो नंबर किया जाता है, तो उसकी राशि में संख्याओं का गुणनफल दो बार कारकों में निहित अंक, की तुलना में अधिक की संख्या अधिक नहीं हो सकता है, और बड़ी संख्या के लिए यह बहुत, बहुत ज्यादा है। अगर कुछ संख्या से गुणा, उत्पाद स्क्रीन पर फिट नहीं जोखिम। क्योंकि किसी भी डिजिटल मशीन के बिट्स की संख्या बहुत सीमित है, और यह एडर अंकों की दो बार संख्या की एक अधिकतम सीमित करने के लिए बाध्य करती है। और अगर स्थानों की संख्या सीमित है, उत्पाद में अनिवार्य रूप से त्रुटियों का परिचय देंगे। गणना की राशि बड़ा है, तो ओवरलैप की त्रुटि है, और एक परिणाम के रूप में बहुत समग्र सटीकता बढ़ जाती है। इधर, एक ही रास्ता - गुणन परिणाम पूर्णांक बनाना है, तो त्रुटि काम करता है बारी कर रहे थे। जब एक गुणा आपरेशन, यह संभव हो जाता है, अंकों की ग्रिड से परे जाने की है, लेकिन केवल छोटे से एक सीमा संख्या जिनमें से निश्चित बिंदु के रूप में प्रतिनिधित्व कर रहे हैं पर लगाया है क्योंकि वहाँ।

कुछ स्पष्टीकरण

शुरू से ही बेहतर शुरू करने के लिए। एक पूर्णांक है, जहां अल्पविराम बहुत अंत में निहित है के रूप में लाइन नंबर - सबसे आम तरीका संख्या प्रतिनिधित्व करते हैं। इस स्ट्रिंग किसी भी लम्बाई हो सकता है लेकिन अल्पविराम सही जगह में खड़ा है एक यह डाल करने के लिए, इसके बारे में आंशिक हिस्से से पूर्णांक को अलग। निश्चित अंक प्रणाली की प्रस्तुति का प्रारूप जरूरी दशमलव बिंदु के स्थान पर कुछ शर्तों डालता है। वैज्ञानिक संकेतन संख्या के प्रतिनिधित्व के लिए एक मानक सामान्यीकृत दृश्य का उपयोग करता है। यह aqn {\ displaystyle aq ^ {n }} aq एन। यहाँ एक {\ displaystyle ^एक} एक है, और यह अपूर्णांश फीता कहा जाता है। बस इसके बारे में कहा गया है कि 0 ⩽ एक <क्ष। इसके अलावा, सभी पहले से ही ^{स्पष्ट} किया जाना ^{चाहिए: n {/ displaystyle n} n} - एक पूर्णांक प्रतिपादक, और ^q {/ displaystyle q} क्ष - यह भी एक पूर्णांक है, जो मूलांक का आधार है (एक पत्र अक्सर 10 है)। अपूर्णांश पहला अंक है, जो शून्य नहीं है के बाद एक अल्पविराम छोड़ देते हैं, लेकिन आगे की रिकॉर्डिंग संख्या के वर्तमान मूल्य के बारे में जानकारी करने के लिए स्थानांतरित कर रहा है।

फ्लोटिंग प्वाइंट संख्या बहुत सब स्पष्ट मानक प्रविष्टि नंबर, केवल प्रतिपादक और अपूर्णांश अलग से दर्ज हैं के लिए इसी तरह लिखा है। निश्चित बिंदु है, जो पहली महत्वपूर्ण अंक के साथ सजाया गया है - एक सामान्यीकृत प्रारूप में एक ही करने के लिए और में अंतिम। बस चल बिन्दु, कि है, कंप्यूटर में मुख्य रूप से प्रयोग किया जाता है और जहां प्रणाली दशमलव में नहीं है की इलेक्ट्रॉनिक प्रतिनिधित्व द्विआधारी, जहां भी अपूर्णांश पुन: व्यवस्थित बिंदु denormalize में - अब यह है, जहां पूर्णांक भाग पहले अंक से पहले, फिर से पहले, यह बाद नहीं है सिद्धांत रूप में, नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, हमारे अपने दशमलव प्रणाली अस्थायी उपयोग के लिए अपने नौ बाइनरी सिस्टम देना होगा। और वह रिकॉर्ड और होगा इस तरह अपने अपूर्णांश फ्लोटिंग प्वाइंट: +1001000 ... 0, और यह और सूचकांक 0 ... 0100। लेकिन दशमलव प्रणाली, इस तरह के जटिल गणनाओं, जो बाइनरी में हो सकता है निर्माण करने के लिए चल बिन्दु के फार्म का उपयोग करके विफल रहता है।

लंबे अंकगणित

इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर में निर्मित सॉफ्टवेयर संकुल, जहां अपूर्णांश और स्मृति निर्दिष्ट सॉफ्टवेयर की राशि का प्रतिपादक के लिए आवंटित, केवल कंप्यूटर की स्मृति आकार के द्वारा सीमित है। यह एक लंबे गणित, यह है कि, नंबर पर सरल कार्य है कि कंप्यूटर करता है की तरह लग रहा है। घटाव और इसके अलावा, विभाजन और गुणा, प्राथमिक कार्य करता है और रूट के निर्माण - यह सब एक ही है। लेकिन बहुत अलग की संख्या, उनकी क्षमता मशीन शब्द की लंबाई की तुलना में काफी अधिक है। इन आपरेशनों के कार्यान्वयन हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर से नहीं है, बल्कि यह व्यापक रूप से आदेश की बहुत छोटी संख्या के साथ काम करने के लिए बुनियादी हार्डवेयर प्रयोग किया जाता है। मनमाने ढंग से सटीक गणित - वहाँ अधिक से गणित, जहां संख्या लंबाई केवल स्मृति क्षमता के द्वारा सीमित है। एक लंबे गणित कई क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है।

1. कोड (प्रोसेसर संकलन करने के लिए, कम बिट गहराई के साथ माइक्रोकंट्रोलर्स - 10 बिट रजिस्टर और आठ बिट शब्द लंबाई, है ना एनालॉग से अंकीय (एनालॉग से अंकीय कनवर्टर) से जानकारी को संभालने के लिए पर्याप्त एक लंबे अंकगणित बिना नहीं कर सकते है, और इसलिए।

2. यह भी एक लंबे अंकगणित क्रिप्टोग्राफी, जहां यह घातांक या ^10,309 के गुणा के परिणाम की सटीकता सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है के लिए प्रयोग किया जाता है ^है। पूर्णांक गणित सापेक्ष मीटर प्रयोग किया जाता है - एक बड़े प्राकृतिक संख्या, और जरूरी सरल नहीं है।

कंप्यूटर की मदद से, संख्या के उच्च सटीकता सुनिश्चित - 3. फाइनेंसरों और गणितज्ञों के लिए सॉफ्टवेयर, भी, नहीं एक लंबे गणित के बिना, कागज पर गणना के परिणामों की पुष्टि क्योंकि एक ही रास्ता है। चल बिन्दु वे लंबे मुक्ति के किसी भी संख्या को शामिल कर सकते हैं। लेकिन इंजीनियरिंग गणना और वैज्ञानिकों के कार्य, हस्तक्षेप कार्यक्रम गणना की आवश्यकता बहुत बार क्योंकि यह गलतियों के बिना इनपुट डेटा बनाने के लिए बहुत मुश्किल है। वे आम तौर पर बहुत गोलाई परिणाम की तुलना में अधिक मोटा है।

त्रुटियों के साथ लड़ो

जब आपरेशन के एक नंबर है, जिसमें चल बिन्दु, यह बहुत मुश्किल है परिणामों की सटीकता का आकलन करने के। अभी तक सभी गणितीय सिद्धांत जो इस समस्या को हल करने के लिए मदद मिलेगी संतोषजनक का आविष्कार नहीं। लेकिन त्रुटि पूर्णांक आसानी से मूल्यांकन करते हैं। की संभावना सतह पर अशुद्धियों से छुटकारा - बस केवल तय सूत्री की संख्या का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, एक वित्तीय कार्यक्रम इस सिद्धांत पर बनाया गया। हालांकि, वहाँ सरल कर रहे हैं: दशमलव बिंदु के बाद अंक की अपेक्षित संख्या पहले से जाना जाता है।

अन्य अनुप्रयोगों, तक सीमित नहीं हैं क्योंकि आप या तो बहुत छोटे या बहुत बड़ी संख्या के साथ काम नहीं कर सकते हैं। तो जब आप काम हमेशा ध्यान वहाँ अशुद्धियों हो सकता है कि में ले जाता है, और क्योंकि परिणाम की व्युत्पत्ति यह दौर के लिए आवश्यक है। इसके अलावा, स्वत: राउंडिंग अक्सर कार्रवाई की कमी है, और इसलिए गोलाई विशेष रूप से परिभाषित किया गया है। इस संबंध, तुलना आपरेशन में बहुत ही खतरनाक। यहां तक कि भविष्य त्रुटियों की राशि का अनुमान है बेहद मुश्किल है।