बहुकोणीय आकृति। बहुकोणीय आकृति और उनके गुणों के प्रकार

बहुकोणीय आकृति केवल ज्यामिति में एक प्रमुख स्थान पर कब्जा नहीं, लेकिन यह भी हर व्यक्ति की रोजमर्रा की जिंदगी में होते हैं। नहीं कृत्रिम, आदि बहुभुज की एक किस्म में संबंधित आइटम, माचिस से शुरू है और प्रकृति में वास्तुशिल्प तत्वों को समाप्त हुए भी एक घन (नमक), प्रिज्म (क्रिस्टल), पिरामिड (scheelite), octahedra (हीरा) के रूप में क्रिस्टल होते हैं उल्लेख करने के लिए । डी।

एक बहुतल की अवधारणा, polyhedrons की ज्यामिति प्रकार में

ज्यामिति विज्ञान stereometry अनुभाग है कि विशेषताओं और थोक की विशेषताओं के साथ संबंध शामिल हैं आकार। ज्यामितीय शरीर पक्षों विमानों (पहलुओं) से घिरा त्रि-आयामी अंतरिक्ष "polytopes" के रूप में जाना जाता है में बनते हैं। बहुकोणीय आकृति के प्रकार भिन्न संख्या और चेहरे के आकार के एक दर्जन से अधिक प्रतिनिधियों से भी अधिक है।

फिर भी, सब बहुकोणीय आकृति आम गुण होते हैं:

1. वे तीनों अभिन्न घटक: चेहरा (बहुभुज सतह), शीर्ष (कोण जमीन पहलुओं परिसर में बनाई गई), एक बढ़त (पक्ष या दो चेहरे के जंक्शन पर गठन आकार में कटौती)।
2. प्रत्येक बहुभुज किनारे दो जोड़ता है, और केवल दो चेहरे कि एक दूसरे के संबंध में कर रहे हैं निकट हैं।
3. उभार का मतलब है कि शरीर को पूरी तरह विमान जिस पर किसी एक चेहरे टिकी हुई है की केवल एक तरफ की व्यवस्था है। नियम बहुतल के सभी चेहरों पर लागू होता है। ठोस ज्यामिति अवधि में ये ज्यामितीय आकार उत्तल बहुकोणीय आकृति कहा जाता है। अपवाद तारामय बहुकोणीय आकृति जो नियमित बहुभुज ज्यामितीय निकायों से प्राप्त कर रहे हैं।

बहुकोणीय आकृति में विभाजित किया जा सकता है:

1. उत्तल बहुकोणीय आकृति के प्रकार, निम्नलिखित वर्गों से मिलकर: पारंपरिक या क्लासिक (एक चश्मे, एक पिरामिड, एक बॉक्स) है, है ना (भी प्लेटो ठोस कहा जाता है), semiregular (दूसरा नाम - आर्किमिडीज़ ठोस)।
2. गैर-उत्तल polyhedrons (तारामय)।

प्रिज्म और उसके गुण

एक प्रभाग ज्यामिति के रूप में ज्यामिति तीन आयामी आकार, बहुकोणीय आकृति के प्रकार (उन के बीच में प्रिज़्म) के गुणों का अध्ययन करता है। प्रिज्म ज्यामितीय शरीर जो दो समान चेहरों की आवश्यकता है (भी बुलाया ठिकानों) समानांतर विमानों में झूठ बोल रही है कहा जाता है, और पक्ष की एन-वें समानांतर चतुर्भुज के रूप में सामने है। बदले में, चश्मे भी इस तरह के रूप में बहुकोणीय आकृति के इस तरह के प्रकार, सहित कई किस्में, है:

1. समानांतर खात - का गठन जब आधार एक समानांतर चतुर्भुज है - दो बराबर कोण का विरोध करने के जोड़े और अनुकूल विपरीत दिशा के दो जोड़े के साथ एक बहुभुज।
2. प्रिज्म आधार के किनारों के लंबवत है।
3. इच्छुक चश्मे चेहरे और आधार के बीच अप्रत्यक्ष कोण (90 के अलावा अन्य) की विशेषता।
4. उचित बराबर पार्श्व पक्षों के साथ एक नियमित बहुभुज के रूप में चश्मे ठिकानों होती है।

चश्मे का मुख्य गुण:

• अनुकूल ठिकानों।
• सभी चश्मे के किनारों बराबर है और एक दूसरे के समानांतर हैं।
• सभी पक्ष चेहरे एक समानांतर चतुर्भुज का एक आकार है।

पिरामिड

शीर्ष - पिरामिड ज्यामितीय शरीर कि एक आधार है और त्रिकोणीय चेहरों है कि एक ही बिंदु पर कनेक्ट की एन-वें में से एक हैं कहा जाता है। यह ध्यान देने योग्य है कि यदि पिरामिड त्रिकोण का प्रतिनिधित्व कर रहे की ओर चेहरे की आवश्यकता है, तो आधार एक त्रिकोणीय बहुभुज या चतुर्भुज और पंचकोणीय, और इसलिए अनंत तक पर की तरह हो सकता है। इस मामले में, पिरामिड के नाम के आधार पर एक बहुभुज से मेल खाती है। एक त्रिकोणीय पिरामिड, चतुर्भुज - - उदाहरण के लिए, अगर आधार एक त्रिकोण पिरामिड है चौकोर, आदि ...

पिरामिड - यह बहुकोणीय आकृति konusopodobnye। इस समूह के बहुकोणीय आकृति के प्रकार, ऊपर के अलावा, भी निम्न प्रतिनिधि शामिल हैं:

1. नियमित रूप से पिरामिड के आधार नहीं है एक नियमित बहुभुज, और उसकी ऊंचाई एक चक्र आधार में खुदा या उसके चारों ओर घिरा के केंद्र का अनुमान है।
2. एक आयताकार पिरामिड का निर्माण होता है जब पक्ष किनारों में से एक एक सही कोण पर एक दूसरे को काटना आधार। इस तरह के एक मामले में, यह बढ़त सच भी पिरामिड ऊंचाई कहा जाता है।

पिरामिड गुण:

• इस मामले में जहां सब ओर किनारों अनुकूल पिरामिड (समान ऊंचाई) में, वे सब एक कोण पर एक आधार के साथ ओवरलैप, और आधार के आसपास केंद्र पिरामिड के शिखर के प्रक्षेपण के साथ मेल खाते के साथ एक चक्र आकर्षित कर सकते हैं।
• पिरामिड के आधार एक नियमित बहुभुज है, तो सभी पार्श्व किनारों अनुकूल हैं, और चेहरे समद्विबाहु त्रिकोण हैं।

नियमित बहुतल: प्रकार और बहुकोणीय आकृति के गुण

stereometrical में एक दूसरे पहलुओं जिनमें से कोने पसलियों के एक ही नंबर से जुड़ा है करने के लिए एक पूरी तरह से बराबर के साथ एक खास जगह ज्यामितीय शरीर पर कब्जा। इन निकायों प्लेटो के ठोस, या कहा जाता है नियमित बहुकोणीय आकृति। इस तरह के गुणों के साथ बहुकोणीय आकृति के प्रकार, वहाँ केवल पाँच आंकड़े हैं:

1. चतुर्पाश्वीय।
2. षट्फलक।
3. Octahedron।
4. Dodecahedron।
5. विंशतिफलक।

पृथ्वी, जल, अग्नि, वायु: उसका नाम नियमित बहुकोणीय आकृति प्लेटो अपने काम में इन ज्यामितीय शरीर का वर्णन किया और उन्हें प्रकृति के तत्वों के साथ कनेक्ट करने के लिए प्राचीन यूनानी दार्शनिक लिए आवश्यक हैं। पांचवें आंकड़ा ब्रह्मांड की संरचना के साथ समानता से सम्मानित किया। उनके अनुसार, प्राकृतिक आपदाओं परमाणुओं नियमित बहुकोणीय आकृति के प्रकार के समान है। इसकी सबसे शानदार सुविधा के लिए धन्यवाद - समरूपता, बहुत रुचि के इन ज्यामितीय आकार न केवल प्राचीन गणितज्ञों और दार्शनिकों के लिए, लेकिन यह भी आर्किटेक्ट, चित्रकारों और सभी समय के मूर्तिकारों के लिए। पूर्ण समरूपता बहुकोणीय आकृति के साथ ही 5 प्रजातियों की उपस्थिति एक मौलिक खोज माना जाता है, वे भी परमात्मा के संबंध से सम्मानित किया।

षट्फलक और उसके गुण

षट्फलक उत्तराधिकारियों के रूप में प्लेटो पृथ्वी परमाणुओं की संरचना के साथ समानता ग्रहण किया। बेशक, अब पूरी तरह से इस परिकल्पना है, जो, हालांकि, चित्र और आधुनिकता के साथ हस्तक्षेप नहीं करता है उसके सौंदर्यशास्त्र के जाने-माने आंकड़े के मन को आकर्षित करने का खंडन किया।

ज्यामिति में, एक षट्फलक, वह क्यूब बॉक्स है, जो, बारी में, चश्मे की तरह है की एक विशेष मामला माना जाता है। तदनुसार, गुण फर्क सिर्फ इतना है कि सभी किनारों और घन के कोनों बराबर हैं के साथ घन चश्मे गुण के साथ जुड़े। इसी से यह निम्नलिखित गुण:

1. एक घन के सभी किनारों अनुकूल हैं और एक दूसरे के लिए सम्मान के साथ समानांतर विमानों में झूठ बोलते हैं।
2. सभी चेहरे - (6 के घन के) अनुकूल वर्ग, किसी भी जो के आधार के रूप में लिया जा सकता है।
3. सभी कोणों 90 intergranal बराबर हैं।
4. प्रत्येक शिखर से पसलियों की संख्या बराबर है, अर्थात 3 है।
5. घन नौ समरूपता के अक्ष, जो सभी षट्फलक के विकर्ण, समरूपता का एक केंद्र के रूप में भेजा के चौराहे के बिंदु पर एक दूसरे को काटना।

चतुर्पाश्वीय

चतुर्पाश्वीय - त्रिकोण के आकार में बराबर किनारों के साथ एक चतुर्पाश्वीय, जिनमें से प्रत्येक शीर्ष तीन किनारों के जंक्शन बिंदु है।

एक नियमित चतुर्पाश्वीय गुण:

1. चतुर्पाश्वीय के सभी चेहरे - एक समभुज त्रिकोण, जिसका अर्थ है कि सभी एक चतुर्पाश्वीय के चेहरे अनुकूल हैं।
2. के बाद से आधार एक नियमित ज्यामितीय आंकड़ा है, कि है, यह बराबर पक्ष हैं, चतुर्पाश्वीय के चेहरे और उसी कोण पर अभिसरण, अर्थात सभी कोण बराबर होते हैं।
3. कोने में से प्रत्येक में राशि प्लानर कोण 180 के बराबर है,, एक नियमित चतुर्पाश्वीय 60 के किसी भी कोण है के बाद से सभी कोण बराबर होते हैं।
4. विपरीत (orthocenter) चेहरे की ऊंचाई के चौराहे बिंदु कोने अनुमान से प्रत्येक।

Octahedron और उसके गुण

नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति के प्रकार बताते हुए इसे एक octahedron है, जो नेत्रहीन नियमित पिरामिड के दो चिपके चतुर्भुज ठिकानों के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है के रूप में है कि वस्तु ध्यान दिया जाना चाहिए।

octahedron के गुणों:

1. ज्यामितीय शरीर के बहुत नाम अपने चेहरे की संख्या बताता है। Octahedron 8 अनुकूल समभुज त्रिकोण, जिनमें से प्रत्येक कोने संसृत चेहरे, अर्थात् 4 की संख्या के बराबर है से बना है।
2. चूंकि octahedron के सभी चेहरों के बराबर हैं और उसके कोनों intergranal, जिनमें से प्रत्येक 60 है, और प्लानर का योग कोण कोने से किसी इस प्रकार 240 है।

द्वादशफ़लक

अगर हम मान लें कि सभी ज्यामितीय शरीर के चेहरे एक है नियमित पंचकोण, 12 बहुभुज की एक आंकड़ा - आप एक द्वादशफ़लक मिलता है।

गुण Dodecahedron:

1. प्रत्येक शिखर से कम तीन किनारों पर एक दूसरे को काटना।
2. सभी चेहरों के बराबर हैं और पसलियों के एक ही लंबाई, और बराबर की जगह है।
3. द्वादशफ़लक से कम 15 कुल्हाड़ियों और समरूपता के विमानों, उनमें से किसी एक शीर्ष चेहरे के बीच और एक विपरीत किनारे से होकर गुजरता है के साथ।

विंशतिफलक

द्वादशफ़लक से उतना ही दिलचस्प, विंशतिफलक आंकड़ा बराबर भुजाओं के साथ तीन आयामी ज्यामितीय शरीर 20 का प्रतिनिधित्व करता है। गुण के अलावा सही विंशतिफलक निम्नलिखित हैं:

1. विंशतिफलक के सभी चेहरे - समद्विबाहु त्रिकोण।
2. बहुतल में से प्रत्येक के शीर्ष पर पाँच चेहरे अभिसरण, और आसन्न कोणों का योग 300 सबसे ऊपर है।
3. विंशतिफलक के रूप में और द्वादशफ़लक, 15 कुल्हाड़ियों और समरूपता विपरीत दिशा के बीच अंक से गुजरने वाले विमानों में ही है।

semiregular polygons

इसके अलावा आदर्शवादी ठोस, polyhedrons उत्तल समूह भी आर्किमिडीज़ ठोस है, जो छोटा कर दिया नियमित polyhedrons शामिल हैं। इस समूह में बहुकोणीय आकृति के प्रकार निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. ज्यामितीय शरीर, कई प्रकार के जोड़ो में बराबर चेहरे हैं उदाहरण के लिए, छोटा कर दिया चतुर्पाश्वीय एक नियमित चतुर्पाश्वीय, 8 चेहरे के रूप में ही है, लेकिन मामले शरीर में 4 आर्किमिडीज़ चेहरे त्रिकोणीय आकार और 4 कर रहे हैं - हेक्सागोनल।
2. सभी कोणों एक शीर्ष करने के लिए अनुकूल हैं।

तारामय बहुकोणीय आकृति

तारामय polyhedrons, चेहरे जो एक दूसरे के साथ एक दूसरे को काटना - प्रतिनिधि प्रजातियों ज्यामितीय निकायों neobomnyh। वे दो नियमित तीन आयामी शरीर के विलय द्वारा या उनके चेहरे की निरंतरता का एक परिणाम के रूप में गठन किया जा सकता है।

इस प्रकार, के रूप में ऐसी ज्ञात तारामय बहुकोणीय आकृति: एक octahedron की तारामय आकार, द्वादशफ़लक, विंशतिफलक, cuboctahedral, icosidodecahedron।