बूलियन बीजगणित। तर्क के बीजगणित। गणितीय तर्क के तत्वों

आज की दुनिया में हम तेजी से मशीनों और उपकरणों की एक किस्म का उपयोग कर रहे हैं। और न केवल जब यह सचमुच अलौकिक शक्ति लागू करने के लिए आवश्यक है: लोड ले जाते हैं, ऊंचाई करने के लिए इसे बढ़ा लंबी और गहरी खाई खुदाई, आदि के लिए कारें आज रोबोट एकत्रित करते हैं, भोजन पकाया जाता है Multivarki और प्राथमिक अंकगणितीय गणना कैलकुलेटर का उत्पादन ... अधिक से अधिक बार हम वाक्यांश "बूलियन बीजगणित" सुनते हैं। शायद समय रोबोट और मशीनों के निर्माण में मनुष्य की भूमिका न केवल गणितीय, लेकिन यह भी हल करने की क्षमता को समझने के लिए आ गया है तार्किक समस्याओं।

तर्क

ग्रीक तर्क में - सोचा था की एक आदेश दिया प्रणाली है कि दी गई स्थितियों के बीच के रिश्ते बनाता है और आप मान्यताओं और अनुमान के आधार पर अनुमान बनाने के लिए अनुमति देता है। अक्सर, हम एक दूसरे से पूछते हैं: "यह तार्किक है करने के लिए" जबाब हमारे मान्यताओं की पुष्टि करता है या सोच की धारा की आलोचना की। लेकिन प्रक्रिया यहीं समाप्त नहीं होता: हम बात करने के लिए जारी है।

कभी-कभी स्थिति (इनपुट) की संख्या इतनी महान है, और उन दोनों के बीच रिश्ता इतना भ्रामक और जटिल है कि मानव मस्तिष्क एक बार में सभी "पचा" करने में सक्षम नहीं है। आप क्या हो रहा है की समझ के लिए एक महीने से अधिक (सप्ताह, वर्ष) पड़ सकता है। लेकिन आधुनिक जीवन हमें निर्णय लेने के लिए इन समय अंतराल नहीं देता है। और हम कंप्यूटर की मदद के लिए सहारा। और यह यहाँ अपने कानूनों और गुणों के साथ एक बीजगणित और तर्क है कि वहाँ, है। मूल डेटा के सभी डाउनलोड करने के बाद, हम कंप्यूटर सभी रिश्तों पहचान करने के लिए, विरोधाभास समाप्त करने के लिए और एक संतोषजनक समाधान खोजने के लिए अनुमति देते हैं।

गणित और तर्क

प्रसिद्ध गोतफ्रिड Vilgelm Leybnits "गणितीय तर्क", की अवधारणा जो कार्य केवल विद्वानों की एक छोटा वृत्त समझने में आसान थे तैयार की। विशेष रुचि का निर्देश देने का कारण नहीं किया है, और गणितीय तर्क कुछ से जाना जाता है की उन्नीसवीं सदी के मध्य तक।

वैज्ञानिक समुदाय में बहुत रुचि एक विवाद है, जिसमें अंग्रेज Dzhordzh बुल गणित की एक शाखा स्थापित करने के लिए अपने इरादे की घोषणा, बिल्कुल कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं होने का कारण है। हम, इतिहास से जानते हैं इस समय सक्रिय रूप से औद्योगिक उत्पादन के विकास, हम सहायक मशीनों के सभी प्रकार विकसित की है, टी। ई सभी वैज्ञानिक खोजों के लिए एक व्यावहारिक अभिविन्यास पड़ा है।

आगे देखते हुए, हम कहते हैं कि एक बूलियन बीजगणित - दुनिया गणित का एक भाग में सबसे अधिक इस्तेमाल। तो अपने तर्क Buhl खो दिया है।

Dzhordzh बुल

लेखक के व्यक्तित्व के लिए विशेष ध्यान के योग्य है। यहां तक कि वास्तव में अतीत लोग हमारे सामने बड़ा हुआ, अभी भी यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि है कि जॉन। Buhl के 16 वर्षों में गांव के स्कूल में पढ़ाया जाता है, और 20 साल लिंकन में अपने ही स्कूल खोला दिया। गणितज्ञ पूरी तरह से पांच विदेशी भाषाओं में महारत हासिल है, और अपने खाली समय में, न्यूटन और Lagrange का काम करता है पढ़ रहा था। और यह सब - एक साधारण मजदूर के बेटे पर!

1839 में, Buhl कैम्ब्रिज गणितीय जर्नल में अपनी पहली वैज्ञानिक कागज भेजा है। वैज्ञानिक 24 वर्ष कर दिया। Boole की काम रॉयल सोसाइटी के इतने रुचि के सदस्यों, 1844 में वह के विकास में उनके योगदान के लिए एक पदक प्राप्त किया है गणितीय विश्लेषण। कुछ प्रकाशित पत्रों में जो गणितीय तर्क के तत्वों, गणित कॉर्क काउंटी के कॉलेज में प्रोफेसर पद लेने की अनुमति युवा वर्णित किया गया। याद है कि बहुत Boole शिक्षा पर नहीं था।

विचार

सिद्धांत रूप में, बूलियन बीजगणित बहुत सरल है। कर रहे हैं बयान (तार्किक भाव) है कि, गणित की दृष्टि से, केवल दो शब्दों में परिभाषित किया जा सकता: "सही" या "गलत"। उदाहरण के लिए, वसंत खिले हुए पेड़ - सच है, गर्मियों में यह बर्फ - एक झूठ। गणित की सुंदरता है कि यह अत्यंत आवश्यक होता ही नंबर का उपयोग करने के लिए नहीं है। बीजगणित निर्णय के लिए काफी अद्वितीय अर्थ के साथ किसी भी बयान फिट।

इस प्रकार, तर्क के बीजगणित सचमुच हर जगह इस्तेमाल किया जा सकता: निर्धारण और लेखन निर्देश में, घटनाओं और कार्यों के अनुक्रम का निर्धारण करने के बारे में परस्पर विरोधी जानकारी का विश्लेषण। सबसे महत्वपूर्ण बात यह - साकार करने के लिए यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि कैसे हम सच या बयान की असत्यता निर्धारण करते हैं। से इन "कैसे" और "क्यों" आप की अनदेखी करने की जरूरत है। क्या मायने रखती है केवल इस तथ्य का एक बयान है: सच एक झूठ है।

बेशक, तर्क के बीजगणित कि उचित संकेतों और प्रतीकों के साथ दर्ज हैं का सबसे महत्वपूर्ण कार्यों प्रोग्रामिंग। और उन्हें सीखने - यह एक नए विदेशी भाषा सीखने का मतलब है। कुछ भी नहीं असंभव है।

बुनियादी अवधारणाओं और परिभाषाओं

गहराई में जाने के बिना, हम शब्दावली के साथ सौदा। तो, बूलियन बीजगणित धारणाओं:

• बयान;
• तार्किक संचालन;
• कार्यों और कानून।

स्टेटमेंट - किसी भी सकारात्मक अभिव्यक्ति व्याख्या की जा सकती है कि दो-मान। वे संख्या (5> 3) या तैयार परिचित शब्द (- सबसे बड़ा स्तनपायी हाथी) के रूप में लिखा जाता है। इस मामले में, वाक्यांश भी मौजूद करने का अधिकार है, केवल बूलियन बीजगणित यह के रूप में परिभाषित "जिराफ की गर्दन नहीं है" "एक झूठ।"

सभी बयान स्पष्ट होना चाहिए, लेकिन वे बुनियादी या यौगिक हो सकता है। हाल ही उपयोग तार्किक बंडल। ई बीजगणित बयान निर्णय यौगिक प्राथमिक तर्क आपरेशन के अलावा द्वारा गठित है।

बूलियन बीजगणित आपरेशन

हम पहले से ही याद निर्णयों का बीजगणित में है कि आपरेशन - तार्किक। बस, जोड़ने, घटाने, या संख्याओं की तुलना करने के लिए अंकगणितीय आपरेशनों का उपयोग कर संख्या के बीजगणित के रूप में, गणितीय तर्क तत्वों जटिल बयान देने के लिए, अस्वीकार करने के लिए या अंतिम परिणाम की गणना करने के लिए अनुमति देते हैं।

औपचारिक और सादगी सूत्र, गणित में हमें परिचित द्वारा व्यक्त के लिए तर्क आपरेशनों। बूलियन बीजगणित समीकरणों के गुण यह संभव रिकॉर्ड और अज्ञात गणना करने के लिए बनाते हैं। तार्किक संचालन आम तौर पर सच तालिका से दर्ज हैं। उसके तत्वों कॉलम और कंप्यूटिंग आपरेशन जो उन पर किया जाता है परिभाषित करते हैं, और पंक्तियों गणना का परिणाम दिखा।

कार्रवाई की बुनियादी तर्क

बूलियन बीजगणित आपरेशन में सबसे आम निषेध (नहीं) कर रहे हैं, और तार्किक AND और OR। तो यह व्यावहारिक रूप से बीजगणित निर्णय में सभी चरणों का वर्णन करना संभव है। हम विस्तार से अध्ययन किया तीन आपरेशन के प्रत्येक।

निषेध (नहीं) केवल एक ही तत्व (संकार्य) पर लागू होता है। इसलिए, आपरेशन एक एकल निषेध कहा जाता है। "नहीं एक" का उपयोग कर ऐसे प्रतीकों की अवधारणा को रिकॉर्ड करने के लिए: एक ¬, एक या एक !. सारणी के रूप में यह इस तरह दिखता है:

इनकार इस तरह का बयान की खासियत के समारोह: अगर एक सत्य है, तभी एक - गलत है। उदाहरण के लिए, चंद्रमा पृथ्वी के चारों ओर घूमती है - सच; एक झूठ - पृथ्वी चंद्रमा आसपास घूमती है।

तार्किक गुणन और इसके अलावा

तार्किक और संचालन एक संयोजन के रूप कहा जाता है। इसका क्या मतलब है? सबसे पहले, यह दो ऑपरेंड के लिए लागू किया जा सकता है, यानी, मैं - .. बाइनरी आपरेशन। दूसरे, यह केवल दोनों ऑपरेंड (दोनों ए और बी) की सच्चाई के मामले में सच है और अभिव्यक्ति ही है। कहावत, "धैर्य और एक छोटे से प्रयास" का तात्पर्य है कि केवल दो कारकों एक व्यक्ति कठिनाइयों से निपटने में मदद कर सकते हैं।

A∧B, A⋅B या एक && बी: प्रतीकों रिकॉर्डिंग के लिए उपयोग किया जाता है

संयोजन के रूप अंकगणित में गुणन के समान है। कभी कभी और कहते हैं - तार्किक गुणा। आप तालिका की पंक्तियां के तत्वों गुणा है, तो हम एक परिणाम तार्किक सोच के लिए इसी तरह मिलता है।

अलगाव एक तार्किक या ऑपरेशन है। यह सच है, तो बयान के कम से कम एक सच (या तो ए या बी) है। A∨B, ए + बी या एक || बी: यह इस तरह लिखा है इन कार्यों के लिए सच्चाई तालिका इस प्रकार हैं:

इसी तरह गणित इसके अलावा अलगाव। 1 + 1 = 1: तार्किक इसके अलावा आपरेशन केवल एक ही प्रतिबंध है। लेकिन हमें याद रखना है कि एक डिजिटल प्रारूप में गणितीय तर्क 0 और 1 के लिए सीमित है (जहां 1 - सच है, 0 - गलत)। उदाहरण के लिए, बयान "संग्रहालय में आप एक उत्कृष्ट कृति देख सकते हैं या एक अच्छी कंपनी पा सकते हैं" का अर्थ है आप कला के कार्यों को देख सकते हैं क्या है, और यह एक दिलचस्प व्यक्ति से मिलने के लिए संभव है। इसी समय, दोनों घटनाओं का एक साथ पूर्ति की संभावना को खारिज नहीं करते।

कार्य और कानून

तो, हम पहले से ही क्या तार्किक आपरेशन बूलियन बीजगणित का उपयोग कर पता है। कार्य गणितीय तर्क के तत्वों के सभी गुण का वर्णन है, और हमें जटिल यौगिक बयान सरल करने के लिए अनुमति देते हैं। सबसे स्पष्ट और सरल डेरिवेटिव संचालन की अस्वीकृति संपत्ति लगता है। द्वारा डेरिवेटिव XOR, निहितार्थ और तुल्यता समझ रहे हैं। जैसा कि हम केवल बुनियादी कार्यों के साथ पढ़ा है, और फिर संपत्ति भी है केवल उन पर विचार।

संबद्धता मतलब यह है कि इस तरह के रूप में बयान "दोनों ए और बी, और बी 'ऑपरेंड के अनुक्रम सूची फर्क नहीं पड़ता। सूत्र निम्नानुसार लिखा है:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V।

आप देख सकते हैं, इस संयोजन के रूप लेकिन एक अलगाव के लिए अद्वितीय नहीं है।

Commutativity का तर्क है कि संयोजन के रूप या अलगाव का नतीजा निर्भर नहीं करता है, जिस पर आइटम शुरू में माना जाता था:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A।

Distributivity जटिल तार्किक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का खुलासा अनुमति देता है। नियम गुणा और बीजगणित में इसके अलावा में आरंभिक कोष्ठक के समान हैं:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V)।

यूनिट गुण और खरोंच है, जो हो सकता है ऑपरेंड में से एक भी शून्य या एक, और एक इकाई के अलावा द्वारा बीजीय गुणा के समान हैं:

A∧0 = 0, A∧1 = एक; A∨0 = एक, A∨1 = 1।

Idempotency हमें बताता है कि अगर अपेक्षाकृत दो बराबर ऑपरेंड आपरेशन के परिणाम एक ही है, तो आप "फेंक" अतिरिक्त जटिल तर्क ऑपरेंड कर सकते हैं। और संयोजन के रूप और अलगाव संचालन idempotent हैं।

B∧B = बी; B∨B = बी

अधिग्रहण भी हमें समीकरण सरल करने के लिए अनुमति देता है। अवशोषण कहा गया है कि जब अभिव्यक्ति एक संकार्य लिए आवेदन किया है, परिणाम संकार्य का एक ही तत्व के साथ एक और ऑपरेशन आपरेशन को अवशोषित है।

A∧B∨B = बी; (A∨B) ∧B = बी

आपरेशन के अनुक्रम

आपरेशन के अनुक्रम का बहुत महत्व है। वास्तव में, बीजगणित के लिए के रूप में, वहाँ एक प्राथमिकता समारोह एक बूलियन बीजगणित का उपयोग करता है है। सूत्र केवल आपरेशन के महत्व के अधीन सरल किया जा सकता। नगण्य करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण की रैंकिंग, हम निम्न क्रम प्राप्त:

1. इनकार।

2. पौन।

3. अलगाव, XOR।

4. निहितार्थ, तुल्यता।

आप देख सकते हैं, केवल संयोजन के रूप का निषेध और बराबर प्राथमिकता की जरूरत नहीं है के रूप में। अलगाव और XOR का एक प्राथमिकता बराबर है, साथ ही निहितार्थ और तुल्यता की प्राथमिकताएं हैं।

निहितार्थ और तुल्यता के कार्य

हमने कहा है, बुनियादी तार्किक संचालन, गणितीय तर्क और डेरिवेटिव का उपयोग कर एल्गोरिदम के सिद्धांत के अलावा। यह अक्सर निहितार्थ और तुल्यता है।

निहितार्थ या तार्किक परिणाम - इस बयान है, जिसमें एक कार्रवाई एक शर्त है, और अन्य - इसके कार्यान्वयन का परिणाम है। दूसरे शब्दों में, "अगर ... फिर" के बहाने के साथ इस प्रस्ताव। "खाने के बाद गणना आता है।" ड्राइविंग के लिए ई स्लेज पहाड़ी पर कड़ा किया जाना है। अगर कोई पर्वत से नीचे ले जाते हैं, और उसके बाद स्लेज खींचें करने के लिए इच्छा है आवश्यक नहीं है। इतना लिखा है: एक → बी या A⇒B।

तुल्यता का तात्पर्य शुद्ध प्रभाव होता है कि केवल जब दोनों ऑपरेंड सही हैं। उदाहरण के लिए, रात जब सूरज क्षितिज पर बढ़ जाता है, तो दिन के लिए रास्ता (और उसके बाद ही) देता है। इस बयान के गणितीय तर्क की भाषा में A≡B, A⇔B, एक == बी के रूप में लिखा है

बूलियन बीजगणित के अन्य कानूनों

बीजगणित निर्णय को विकसित करता है, और कई रुचि वैज्ञानिकों नए कानून तैयार करने के लिए। सबसे प्रसिद्ध माना जाता है स्कॉटिश गणितज्ञ ओ डी मॉर्गन postulates। उन्होंने देखा और करीब निषेध, इसके अलावा और डबल नकारात्मक रूप में इस तरह के गुण की एक परिभाषा दे दी है।

बंद इनकार पता चलता है कि इससे पहले कि कोष्ठक है कोई संदेह नहीं: नहीं (ए या बी) = नहीं एक या बी नहीं

जब संकार्य से इनकार किया है, अपने मूल्य की परवाह किए बिना, इसके बारे में कहते हैं:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1।

और अंत में, डबल निषेध ही क्षतिपूर्ति। यानी इससे पहले कि या तो संकार्य निषेध गायब हो जाता है या केवल एक है।

परीक्षण हल करने के लिए कैसे

तर्क का तात्पर्य सरलीकरण पूर्व निर्धारित समीकरण। वैसे ही जैसे झूठ बीजगणित में, यह अधिकतम पहली शर्त की सुविधा के लिए (जटिल इनपुट संचालन से छुटकारा पाने के लिए, और उन लोगों के साथ) के लिए आवश्यक है, तो एक सही जवाब के लिए तलाश शुरू।

क्या आसान बनाने के लिए करना है? एक सरल ऑपरेशन में सभी डेरिवेटिव कन्वर्ट। तब सभी कोष्ठक को उजागर (या इसके विपरीत, इस तत्व को कम करने के कोष्ठक बनाने के लिए)। अगले कदम के व्यवहार में बूलियन बीजगणित गुणों का उपयोग करने के लिए किया जाना चाहिए (अवशोषण गुण शून्य और एक है, और टी।)।

अंत में, समीकरण अज्ञात की एक न्यूनतम संख्या, सरल आपरेशनों के साथ संयुक्त होनी चाहिए। एक समाधान के लिए देखने के लिए सबसे आसान तरीका है, अगर आप पास नकारात्मक की एक बड़ी संख्या बनाते हैं। तो जवाब के रूप में अपने आप में है, तो पॉप अप होगा।