अनिश्चितकालीन अभिन्न। अनिश्चितकालीन अभिन्न की संगणना

गणितीय विश्लेषण के बुनियादी वर्गों में से एक अभिन्न कलन है। यह अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग है - यह वस्तुओं, जहां पहले की एक बहुत व्यापक क्षेत्र को शामिल किया गया। स्थिति यह खड़ा के रूप में एक महत्वपूर्ण उच्च विद्यालय में अब भी है कि संभावनाओं और अवसरों की संख्या बढ़ रही है, जो उच्च गणित का वर्णन करता है पता चलता है।

दिखावट

पहली नज़र में, यह पूरी तरह से आधुनिक, सामयिक का अभिन्न अंग रहा है, लेकिन व्यवहार में यह पता चला है कि वह 1800 में वापस आ गया ईसा पूर्व। होम आधिकारिक तौर पर मिस्र माना जाता है के रूप में हमें अपने अस्तित्व के पहले सबूत नही पंहुचे। यह जानकारी की कमी के कारण, यह सब करते हुए एक घटना के रूप में बस तैनात। उन्होंने एक बार फिर उस समय के लोगों के वैज्ञानिक विकास के स्तर की पुष्टि करता है। अंत में, काम करता है पाए गए प्राचीन यूनानी गणितज्ञों, 4 शताब्दी ई.पू. से डेटिंग। वे विधि का इस्तेमाल किया जहां अनिश्चितकालीन अभिन्न है, जो का सार मात्रा या वक्रीय आकार के क्षेत्र (तीन आयामी और दो आयामी विमान, क्रमशः) को खोजने के लिए था का वर्णन। गणना अत्यल्प घटकों में मूल आंकड़ा के विभाजन के सिद्धांत पर आधारित था, कि मात्रा (क्षेत्र) उन्हें पहले से ही जाना जाता है प्रदान की है। समय के साथ, विधि बड़ा हो गया है, आर्किमिडीज यह प्रयोग किया जाता एक परवलय का क्षेत्रफल ज्ञात करने। एक ही समय में इसी प्रकार के गणना प्राचीन चीन, जहां वे ग्रीक साथी विज्ञान से पूरी तरह से स्वतंत्र थे में अभ्यास करेगी।

विकास

ग्यारहवीं शताब्दी ईसा पूर्व में अगले सफलता अरब विद्वान का काम बन गया है "वैगन" अबू अली अल Basri, जो की सीमाओं धक्का दिया पहले से ही जाना जाता है, मात्रा और चौथे करने के लिए पहले से डिग्री की रकम की गणना, यह हमारे लिए जाना जाता है के लिए आवेदन करने के लिए अभिन्न सूत्र से प्राप्त किए गए प्रेरण विधि।
आज के मन की प्रशंसा कर रहे हैं द्वारा प्राचीन मिस्र को अपने हाथों की कि के अलावा, किसी भी विशेष उपकरण के बिना अद्भुत स्मारकों बनाया है, लेकिन है समय कम नहीं एक चमत्कार की शक्ति पागल वैज्ञानिकों नहीं है? उनके जीवन के वर्तमान समय के साथ तुलना में लगभग आदिम लगते हैं, लेकिन अनिश्चितकालीन अभिन्न के निर्णय हर जगह निष्कर्ष निकाला और आगे विकास के लिए व्यवहार में प्रयोग किया।

अगले कदम के लिए, XVI वीं सदी में हुई थी इतालवी गणितज्ञ Cavalieri अविभाज्य विधि है, जो उठाया लाया जब प्रति Ferma में। इन दो व्यक्तित्व आधुनिक अभिन्न कलन, जो इस समय में जाना जाता है की नींव रखी। वे भेदभाव और एकीकरण की अवधारणाओं, जो पहले आत्म निहित इकाइयों के रूप में देखा गया था बंधे। काफी हद तक उस समय के गणित खंडित कणों निष्कर्ष खुद से मौजूद हैं, सीमित उपयोग के साथ किया गया था। मार्ग को एकजुट और आम जमीन खोजने के लिए इस समय केवल सच था, उसे करने के लिए धन्यवाद, आधुनिक गणितीय विश्लेषण बढ़ने और विकसित करने का अवसर था।

समय बीतने के साथ सब कुछ और अभिन्न प्रतीक के रूप में अच्छी तरह से बदल जाता है। काफी हद तक यह वैज्ञानिकों ने अपने तरीके से, उदाहरण के लिए, न्यूटन एक वर्ग आइकन है, जो एक समाकलनीय समारोह में कहें, या बस एक साथ रखा इस्तेमाल किया नामित किया गया। इस असमानता XVII सदी है, जब गणितीय विश्लेषण वैज्ञानिक गोतफ्रिड Leybnits के पूरे सिद्धांत के लिए एक मील का पत्थर इस तरह के एक चरित्र हमें परिचित शुरू की तक चली। लम्बी "एस" वास्तव में इस पत्र पर आधारित है , रोमन लिपि के बाद से पुरातन की राशि को दर्शाता है। अभिन्न के नाम जैकब बरनौली के लिए धन्यवाद प्राप्त की, 15 साल बाद।

औपचारिक परिभाषा

अनिश्चितकालीन अभिन्न आदिम की परिभाषा पर निर्भर करता है, इसलिए हम पहली जगह में यह विचार करें।

Antiderivative - व्युत्पन्न का प्रतिलोम समारोह, व्यवहार में यह आदिम कहा जाता है। अन्यथा: घ के आदिम समारोह - एक समारोह डी, जो व्युत्पन्न वी <=> वी '= वी है। खोजें आदिम अनिश्चितकालीन अभिन्न गणना करने के लिए है, और इस प्रक्रिया में ही एकीकरण कहा जाता है।

उदाहरण:

समारोह रों (y) = y ^3, और इसके आदिम एस (y) = (y ^4/4)।

समारोह के सभी पुरातन का सेट - इस अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग है, यह निरूपित किया इस प्रकार है: ∫v (x) dx।

तथ्य यह है कि वी (एक्स) के आधार पर - कर रहे हैं केवल कुछ आदिम मूल कार्य, अभिव्यक्ति रखती है: ∫v (x) dx = वी (x) + सी, जहां सी - निरंतर। मनमाने ढंग से निरंतर के तहत, किसी भी निरंतर को संदर्भित करता है के बाद से इसकी व्युत्पन्न शून्य है।

गुण

अनिश्चितकालीन अभिन्न के पास गुण, अनिवार्य रूप से परिभाषा और डेरिवेटिव के गुणों के आधार पर।
महत्वपूर्ण बिंदुओं पर विचार करें:

• आदिम का अभिन्न व्युत्पन्न ही प्लस एक मनमाना निरंतर सी <=> ∫V आदिम है '(x) dx = वी (x) + C;
• एक समारोह के अभिन्न के व्युत्पन्न मूल कार्य <=> (∫v (x) dx) 'है = वी (एक्स);
• निरंतर अभिन्न संकेत <=> ∫kv (एक्स) के नीचे से बाहर ले जाया जाता है dx = k∫v (x) dx, जहां कश्मीर - मनमाना है;
• अभिन्न है, जो हूबहू बराबर की राशि से अभिन्न का योग <=> ∫ (V (y) + w (y)) डीवाई = ∫v (y) डीवाई + ∫w (y) डीवाई लिया जाता है।

पिछले दो गुण निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि अनिश्चितकालीन अभिन्न रेखीय है। इस के कारण, हमने: ∫ (केवी (y) डीवाई + ∫ LW (y)) डीवाई = k∫v (y) डीवाई + l∫w (y) डीवाई।

समाधान अनिश्चितकालीन अभिन्न फिक्सिंग के उदाहरण देखने के।

आप अभिन्न ∫ (3sinx + 4cosx) dx पता लगाना चाहिए:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C

उदाहरण से हम निष्कर्ष निकाल सकते आप अनिश्चितकालीन अभिन्न हल करने के लिए कैसे पता नहीं है? बस सभी पुरातन लगता है! लेकिन सिद्धांतों के लिए खोज नीचे चर्चा।

तरीके और उदाहरण

अभिन्न हल करने के लिए, आप निम्न विधियों का सहारा कर सकते हैं:

• तालिका का लाभ लेने के लिए तैयार;
• भागों से एकीकृत;
• चर की जगह एकीकृत;
• अंतर के हस्ताक्षर के तहत संक्षेप।

टेबल

सबसे सरल और मनोरंजक तरीका है। फिलहाल, गणितीय विश्लेषण काफी व्यापक टेबल, जो अनिश्चितकालीन अभिन्न के बुनियादी सूत्र वर्तनी गर्व कर सकता है। दूसरे शब्दों में, वहाँ आप पर निर्भर व्युत्पन्न टेम्पलेट्स रहे हैं और आप केवल उन्हें का लाभ ले सकते। यहाँ मुख्य तालिका की स्थिति, जो लगभग हर उदाहरण प्रदर्शित किया जा सकता है की सूची, एक समाधान है:

• ∫0dy = सी, जहां सी - लगातार;
• ∫dy = y + सी, जहां सी - लगातार;
• ∫y ⁿ डीवाई = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + सी, जहां सी - एक स्थिर, और n - संख्या एकता से अलग;
• ∫ (1 / y) डीवाई = ln | y | + सी, जहां सी - लगातार;
• ^{∫e y डीवाई = ई y + सी} , जहां सी - लगातार;
• ^{∫k y डीवाई = (के y /} ln ट) + सी, जहां सी - लगातार;
• ∫cosydy = Siny + सी, जहां सी - लगातार;
• ∫sinydy = -cosy + सी, जहां सी - लगातार;
• ∫dy / क्योंकि ² y = tgy + सी, जहां सी - लगातार;
• ∫dy / पाप ² y = -ctgy + सी, जहां सी - लगातार;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + सी, जहां सी - लगातार;
• ∫chydy = शर्मीली + सी, जहां सी - लगातार;
• ∫shydy = Chy + सी, जहां सी - निरंतर।

यदि आवश्यक हो, एक सारणी दृश्य करने के लिए कदम के एक जोड़े integrand नेतृत्व कर सकते हैं और जीत का आनंद लें। उदाहरण: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) डी (5x - 2) = 1/5 एक्स पाप (5x - 2) + C

निर्णय के अनुसार यह स्पष्ट है कि उदाहरण के लिए एक मेज integrand गुणक 5. हम इसे सामान्य अभिव्यक्ति के लिए 1/5 द्वारा इस गुणा के साथ समानांतर में जोड़ने के परिवर्तन नहीं किया अभाव है।

पार्ट्स से एकता

z (y) और एक्स (y) - दो कार्यों पर विचार करें। वे अपने डोमेन पर लगातार विभेदक होना चाहिए। एक भेदभाव गुण में हमने: डी (XZ) = xdz + ZDX। दोनों पक्षों का घालमेल, हम पाते हैं: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz।

- ∫xdz ∫zdx = zx: जिसके परिणामस्वरूप समीकरण को फिर से लिखने, हम सूत्र है, जो भागों से एकीकरण की विधि का वर्णन मिलता है।

क्यों यह आवश्यक है? तथ्य यह है कि उदाहरण इसे आसान बनाने के लिए संभव है में से कुछ,, मान लें कि ∫zdx ∫xdz कम करने के लिए, अगर दूसरी स्थिति सारणीबद्ध रूप के करीब है। इसके अलावा, इस सूत्र इष्टतम परिणामों के लिए, एक बार से अधिक इस्तेमाल किया जा सकता।

कैसे अनिश्चितकालीन अभिन्न हल करने के लिए इस तरह से:

• ∫ (रों + 1) ई ^2s डी एस गणना करने के लिए आवश्यक

∫ (x + ^{1) ई 2s डी एस = {z =} s + 1, dz = डी एस, y = ^{1/2 ई 2s, उप = ई 2x} डी एस} = ((रों + 1) ई ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((रों + 1) ई ^2s) / 2-ए ^2s / 4 + सी;

• ∫lnsds गणना चाहिए

∫lnsds = {z = LNS, dz = डी एस / एस, y = रों, उप = डी एस} = slns - ∫s एक्स डी एस / एस = slns - ∫ds = slns -s + C = s (LNS -1) + सी

चर की जगह

अनिश्चितकालीन अभिन्न के हल के लिए इस सिद्धांत की तुलना में पिछले दो मांग कम नहीं है, हालांकि जटिल हैं। विधि इस प्रकार है: चलो वी (एक्स) - कुछ समारोह वी (एक्स) के अभिन्न। घटना अपने आप में उदाहरण slozhnosochinenny में अभिन्न आता है कि में, भ्रमित हो और नीचे गलत पथ समाधान जाने की संभावना है। जेड तक चर x इस अभ्यास परिवर्तन, जिसमें सामान्य अभिव्यक्ति नेत्रहीन जबकि एक्स के आधार पर जेड को बनाए रखने को सरल बनाया से बचने के लिए।

गणितीय संदर्भ में, इस प्रकार है: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) वाई '(z) dz = वी (z) = वी (y -1 (x)), जहां एक्स = y ( जेड) - प्रतिस्थापन। और, बेशक, उलटा समारोह z = y ^-1 (एक्स) पूरी तरह से संबंध और चर के संबंध का वर्णन। महत्वपूर्ण नोट - अंतर dx जरूरी एक नया अंतर dz के साथ बदल दिया, अनिश्चितकालीन अभिन्न में चर के परिवर्तन के बाद से यह हर जगह को बदला जाता है, न कि केवल integrand में।

उदाहरण:

• पता लगाना चाहिए ∫ (रों +1) / (रों ² + 2s - 5) डी एस

प्रतिस्थापन z = (रों +1) लागू करें / (रों ² + 2s -5)। तब dz = 2sds = 2 + 2 (रों + 1) डी एस <=> (रों + 1) डी एस = dz / 2। नतीजतन, निम्नलिखित अभिव्यक्ति है, जो बहुत ही आसान है गणना करने के लिए:

∫ (रों +1) / (रों ² + 2s -5) डी एस = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | z | + सी = 1 / 2ln | रों ² + 2s -5 | + C;

• यदि आप पाते हैं चाहिए अभिन्न ∫2 ^रों ई ^रों dx

निम्नलिखित रूप में फिर से लिखने का समाधान करने के लिए:

^{∫2 रों ई एस डी एस = ∫ (} 2 ई) रों डी एस।

हम एक = 2 ई द्वारा निरूपित (तर्क इस कदम नहीं है के प्रतिस्थापन, यह अभी भी है), हम दे हमारे प्रतीत होता है बुनियादी सारणी के रूप के लिए जटिल अभिन्न:

^{∫ (2 ई) रों डी एस = ∫a} रों डी एस = एक एस / lna + सी = (2 ई) एस / ln (2 ई) + सी = 2 ^रों ई ^एस / ln (2 + LNE) + सी = 2 ^रों ई ^एस / (LN2 +1) + C

एक अंतर संकेत संक्षेप

काफी हद तक अनिश्चितकालीन अभिन्न की इस पद्धति - चर के परिवर्तन के सिद्धांत के जुड़वां भाई है, लेकिन वहाँ पंजीकरण की प्रक्रिया में मतभेद हैं। हमें और अधिक विस्तार से विचार करें।

यदि ∫v (x) dx = (x) + सी और y = z (एक्स), तो ∫v (y) डीवाई = वी (y) + C वी

उसी समय हम भूल जाते हैं नहीं होना चाहिए तुच्छ अभिन्न परिवर्तनों, जो बीच में:

• dx = घ (x + एक), और जिसमें - प्रत्येक लगातार;
• dx = (1 / ए) घ (जो ax + b), जहां एक - लगातार फिर से, लेकिन शून्य नहीं;
• xdx = 1/2 डी (एक्स ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = घ (sinx)।

अगर हम सामान्य स्थिति है जहाँ हम अनिश्चितकालीन अभिन्न गणना पर विचार, उदाहरण सामान्य सूत्र w '(x) dx = DW (एक्स) के तहत सम्मिलित किया जा सकता है।

उदाहरण:

• पता लगाना चाहिए ∫ (2s + 3) ² डी एस, डी एस = 1/2 डी (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² डी एस = 1 / 2∫ (2s + 3) ² डी (2s + 3) = (1/2) एक्स ((2s + 3) ²⁾ / 3 + सी = (1/6) एक्स (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C

ऑनलाइन मदद

कुछ मामलों में, जिनमें से गलती हो सकता है या आलस्य, या एक तत्काल आवश्यकता है, तो आप ऑनलाइन संकेतों का उपयोग कर सकते हैं, या बल्कि, एक कैलकुलेटर अनिश्चितकालीन अभिन्न उपयोग करने के लिए। स्पष्ट जटिलता और अभिन्न के विवादास्पद प्रकृति के बावजूद, निर्णय उनकी विशिष्ट एल्गोरिथ्म, जो की "आप नहीं ... तो करते हैं ..." सिद्धांत पर आधारित है के अधीन है।

बेशक, इस तरह एक कैलकुलेटर का एक विशेष रूप जटिल उदाहरण गुरु नहीं, वहाँ के रूप में जिन मामलों में एक निर्णय एक कृत्रिम रूप से इस प्रक्रिया में कुछ तत्वों के द्वारा "मजबूर" खोजने के लिए है, क्योंकि परिणाम तक पहुंचने के लिए स्पष्ट तरीके हैं। इस बयान के विवादास्पद प्रकृति के बावजूद, यह सच है, गणित के रूप में, सिद्धांत रूप में, एक अमूर्त विज्ञान, और अपने प्राथमिक उद्देश्य सीमाओं को सशक्त बनाने की जरूरत को समझता है। दरअसल, के लिए एक चिकनी रन-इन सिद्धांतों ऊपर ले जाएँ और विकसित है, तो यह न मानें कि अनिश्चितकालीन अभिन्न के हल के लिए उदाहरण है, जो हमें दिया है बहुत मुश्किल है - यह अवसरों की ऊंचाई है। लेकिन वापस चीजों के तकनीकी पक्ष के लिए। कम से कम गणना की जाँच करने पर, आप सेवा है, जिसमें यह हमारे लिए लिखा गया था का उपयोग कर सकते हैं। तो जटिल भाव का स्वत: गणना के लिए की जरूरत है, तो वे एक और अधिक गंभीर सॉफ्टवेयर का सहारा लेना नहीं है। मुख्य रूप से पर्यावरण matlab पर ध्यान देना चाहिए।

आवेदन

पहली नजर में अनिश्चितकालीन अभिन्न के निर्णय, वास्तविकता से पूरी तरह से अलग लगता है, क्योंकि यह विमान का स्पष्ट उपयोग को देखने के लिए मुश्किल है। दरअसल, उन्हें सीधे का उपयोग कहीं भी आप नहीं कर सकते हैं, लेकिन वे व्यवहार में इस्तेमाल समाधान की वापसी की प्रक्रिया में एक आवश्यक मध्यवर्ती तत्व हैं। इस प्रकार, वापस भेदभाव के एकीकरण, इस प्रकार सक्रिय रूप से समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में भाग लेने।
संक्षेप में, सब कुछ है कि वर्तमान और भविष्य को आकार देने का गठन किया - बदले में, इन समीकरणों यांत्रिक समस्याओं, प्रक्षेपवक्र गणना और तापीय चालकता के निर्णय पर सीधा प्रभाव पड़ता है। अनिश्चितकालीन अभिन्न, उदाहरण जिनमें से हम एक आधार के रूप में ऊपर पर विचार किया है, पहली नजर में ही तुच्छ, अधिक से अधिक नई खोजों को पूरा करने के।