कोण के साइन का व्युत्पन्न समान कोण के कोसाइन के बराबर है

सरल त्रिकोणमिति फ़ंक्शन y = पाप (एक्स) को देखते हुए, यह परिभाषा के पूरे डोमेन से अपने हर बिंदु पर भिन्न है यह साबित करना आवश्यक है कि किसी भी तर्क के साइन की व्युत्पत्ति उसी कोण के कोसाइन के बराबर होती है, वह है, y '= कॉस (एक्स)।

यह सबूत समारोह के व्युत्पन्न की परिभाषा पर आधारित है

हम एक विशेष बिंदु x0 के कुछ छोटे पड़ोस Δx में एक्स (मनमाना) को परिभाषित करते हैं। आइए, किसी फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि को खोजने के लिए, उसमें फ़ंक्शन के मूल्य और बिंदु x पर दिखाएं। यदि Δx तर्क का वेतन वृद्धि है, तो नया तर्क x ₀ + Δx = x है, तर्क y (x) के दिए गए मान के लिए इस फ़ंक्शन का मान Sin (x ₀ + Δx) है, किसी विशेष बिंदु y (x ₀ ) पर फ़ंक्शन का मान ।

अब हमारे पास एनी = पाप (एक्स ₀ + Δx) है- सीन (एक्स ₀ ) प्राप्त फ़ंक्शन की वृद्धि है।

दो असमान कोणों की राशि के साइन सूत्र से, हम अंतर को बदल देंगे।

(कॉस) = कॉस (Δx) + कॉस (एक्स ₀ ) · सीन (Δx) शून्य से (एक्स ₀ ) = (कॉस (Δx) -1) · सीन (एक्स ₀ ) + कॉस (एक्स ₀ ) · सीन (Δx)

शब्दों के एक क्रमबद्धता को प्रदर्शन किया, तीसरे पाप (एक्स ₀ ) के साथ सबसे पहले समूहीकृत किया, ब्रैकेट के लिए एक सामान्य गुणक - साइन - किया गया। हमने अभिव्यक्ति में अंतर कोस (Δx) -1 प्राप्त किया यह ब्रैकेट के अंदर और कोष्ठकों में हस्ताक्षर बदलने के लिए रहता है 1-कॉस (Δx) है, यह जानने के लिए, हम एक प्रतिस्थापन बनाते हैं और सरलीकृत अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं, जो हम फिर Δx द्वारा विभाजित करते हैं।
Δy / Δx के पास फ़ॉर्म होगा: कॉस (एक्स ₀ ) · पाप (Δx) / Δx-2 · पाप ² (0.5 · Δx) · पाप (x ₀ ) / Δx यह फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के तर्क के स्वीकार्य वेतन वृद्धि का अनुपात है।

यह शून्य के लिए Δx टेंडिंग के लिए प्राप्त अनुपात लीम की सीमा को बनी हुई है

यह ज्ञात है कि इस शर्त के तहत सीमा (Δx) / Δx 1 के बराबर है। अभिव्यक्ति 2 · सीना ² (0,5 · Δx) / Δx, उस उत्पाद को कम कर दिया जाता है जिसमें गुणक के रूप में पहली उल्लेखनीय सीमा होती है: 2 से अंश के अंश और दशमलव को विभाजित करके उत्पाद के साइन का वर्ग बदलें। यहां यहां है:
(पाप (0.5 · Δx) / (0.5 · Δx)) · पाप (Δx / 2)
शून्य के लिए झुकाव के लिए इस अभिव्यक्ति की सीमा शून्य के बराबर है (1 गुणा करके 0)। यह पता चला है कि अनुपात Δy / Δx की सीमा Cos (x ₀ ) · 1-0 है, यह कॉस (एक्स ₀ ) है, जो अभिव्यक्ति है जो Δx 0 पर निर्भर नहीं करती है। यह निष्कर्ष पर पहुंचाती है कि किसी भी कोण x के साइन व्युत्पन्न कोसाइन x, हम 'y' = कॉस (एक्स) के रूप में लिखते हैं।

परिणामस्वरूप सूत्र डेरिवेटिव की ज्ञात सारणी में दर्ज किया गया है, जहां सभी प्राथमिक कार्य

जब एक साइनस के व्युत्पन्न होने की समस्या हल हो जाती है, तो तालिका से भेदभाव और तैयार किए गए सूत्रों के नियमों का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए: सरलतम कार्य के व्युत्पन्न को प्राप्त करें y = 3 · सिन (एक्स) -15 हम भेदभाव के प्राथमिक नियमों का उपयोग करते हैं, व्युत्पन्न के चिह्न के पीछे संख्यात्मक कारक को हटाने, और निरंतर संख्या के व्युत्पन्न की गणना (यह शून्य है)। हम कोण x के बराबर के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मूल्य को लागू करते हैं, कॉस के बराबर (x)। हमें जवाब मिलता है: y '= 3 · कॉस (एक्स) -ओ यह व्युत्पन्न, बदले में, एक प्राथमिक कार्य भी है y = 3 · कॉस (एक्स)।

साइन के व्युत्पन्न किसी भी तर्क से चुकता है

जब इस अभिव्यक्ति की गणना (पाप ² (एक्स)) 'है, तो यह याद रखना आवश्यक है कि जटिल फ़ंक्शन कैसे विभेदित है। तो, y = पाप ² (x) - एक पावर फंक्शन है, क्योंकि साइन चुकता है। इसका तर्क भी एक त्रिकोणमितीय समारोह है, जटिल तर्क इस मामले में इसका परिणाम उत्पाद के बराबर है जिसका पहला पहलू दी गई जटिल तर्क के वर्ग के व्युत्पन्न है, और दूसरी साइन की व्युत्पत्ति है। ऐसा है कि फ़ंक्शन के फ़ंक्शन को भेद करने का नियम कैसा दिखता है: (यू (वी (x))) 'बराबर है (यू (वी (एक्स)))' (वी (एक्स)) ' अभिव्यक्ति v (x) एक जटिल तर्क (आंतरिक फ़ंक्शन) है यदि कार्य "igrok वर्ग x में साइन के बराबर है" दिया गया है, तो इस जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न वाई '= 2 · पाप (एक्स) · कॉस (एक्स) है। उत्पाद में, पहली बार दोगुनी गुणक ज्ञात पावर फंक्शन के व्युत्पन्न है, और कॉस (एक्स) साइन की व्युत्पत्ति है, एक जटिल द्विघात समारोह का तर्क है। अंतिम परिणाम को दोहरे कोण के त्रिकोणमितीय साइन सूत्र का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है। उत्तर: व्युत्पन्न है पाप (2 · x)। यह सूत्र आसानी से याद किया जाता है, यह अक्सर सारणीबद्ध के रूप में उपयोग किया जाता है