संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं। संभाव्यता सिद्धांत के कानूनों

बहुत से लोग, जब की "संभाव्यता सिद्धांत" धारणा के साथ सामना करना पड़ा, डर, यह सोच कर कि यह कुछ असहनीय, बहुत मुश्किल है कि। लेकिन यह वास्तव में ऐसा दुखद नहीं है। आज हम संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं को देखो, ठोस उदाहरण द्वारा समस्याओं का समाधान करना सीखो।

विज्ञान

क्या एक "संभाव्यता सिद्धांत" के रूप में गणित की एक शाखा का अध्ययन कर रहा है? यह नोट पैटर्न यादृच्छिक घटनाओं की और चर। पहली बार अठारहवीं सदी में चिंतित वैज्ञानिकों के मुद्दे, जब जुआ अध्ययन के लिए। संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं - घटना। यह किसी भी तथ्य यह है कि अनुभव या अवलोकन द्वारा कहा जाता है। लेकिन अनुभव क्या है? संभावना के सिद्धांत का एक अन्य बुनियादी अवधारणा। इसका मतलब है कि परिस्थितियों के इस हिस्से गलती से नहीं बनाई गई हैं, और एक उद्देश्य के साथ। निगरानी के संबंध में, वहाँ शोधकर्ता खुद अनुभव में भाग नहीं लेता है, लेकिन बस इन घटनाओं का साक्षी है, यह क्या हो रहा है पर कोई प्रभाव नहीं है।

घटनाओं

हमने सीखा है कि संभावना के सिद्धांत की मूल अवधारणा - घटना है, लेकिन वर्गीकरण विचार नहीं किया। वे सब के सब निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया गया है:

• विश्वसनीय।
• असंभव।
• रैंडम।

कोई फर्क नहीं पड़ता घटना है, जो देखा जा रहा है या प्रयोग के दौरान बनाई गई हैं, वे इस वर्गीकरण से प्रभावित हैं। हम मिलना हर प्रकार की अलग से प्रदान करते हैं।

निश्चित घटना

यह करने के लिए जो गतिविधियों के लिए आवश्यक सेट बनाने के लिए एक सच्चाई है। बेहतर सार समझ में, यह कुछ उदाहरण देने के लिए बेहतर है। यह कानून और भौतिकी, रसायन शास्त्र, अर्थशास्त्र, और उच्च गणित के अधीनस्थ है। संभाव्यता सिद्धांत एक महत्वपूर्ण घटना के रूप में इस तरह के एक महत्वपूर्ण अवधारणा भी शामिल है। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

• हम काम करते हैं और मजदूरी के रूप में पारिश्रमिक प्राप्त करते हैं।
• खैर परीक्षा उत्तीर्ण कर ली है, यह एक शैक्षिक संस्थान में प्रवेश के के रूप में पारिश्रमिक प्राप्त करने के लिए के लिए एक प्रतियोगिता पारित कर दिया।
• हम बैंक में पैसा निवेश किया है, उन्हें वापस पाने के यदि आवश्यक हो तो।

इस तरह की घटनाओं सही हैं। हम सभी आवश्यक शर्तों को पूरा किया है, अपेक्षित परिणाम प्राप्त करने के लिए सुनिश्चित करें।

असंभव घटना

अब हम संभावना के सिद्धांत के तत्वों पर विचार करें। अर्थात् असंभव - हम घटनाओं के निम्नलिखित प्रकार में स्पष्टीकरण के लिए जाने की पेशकश करते हैं। प्रारंभ करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण नियम निर्धारित - एक असंभव घटना की संभावना शून्य है।

इस निर्माण से समस्याओं को सुलझाने में derogated नहीं किया जा सकता। इस तरह की घटनाओं के उदाहरण दर्शाते हैं कि करने के लिए:

• पानी के तापमान के साथ साथ दस (यह नामुमकिन है) पर जमे हुए है।
• बिजली उत्पादन को प्रभावित नहीं करता की कमी (पिछले उदाहरण में के रूप में के रूप में असंभव)।

अधिक उदाहरण दिया जाता है के रूप में बहुत स्पष्ट रूप से ऊपर वर्णित इस श्रेणी का सार प्रतिबिंबित करती हैं, जरूरी नहीं है। असंभव घटना कभी नहीं किसी भी परिस्थिति में प्रयोग के दौरान होता है।

यादृच्छिक घटनाओं

संभाव्यता सिद्धांत के तत्वों का अध्ययन करके, विशेष ध्यान देने की घटना के दिए गए प्रकार के लिए भुगतान किया जाना चाहिए। ये इस विज्ञान का अध्ययन करने वाले हैं। कुछ होता है या नहीं कर सकते करने के अनुभव के परिणामस्वरूप। इसके अलावा, परीक्षण के समय की एक असीमित संख्या में किया जा सकता है। उल्लेखनीय उदाहरण में शामिल हैं:

• सिक्के को उछाल - इस घटना - यह एक ऐसा अनुभव है, या परीक्षण, एक ईगल के नुकसान है।
• आँख बंद करके बैग से गेंद पुलिंग - इस घटना और इतने पर - परीक्षण, लाल गेंद पकड़ा गया था।

इस तरह के उदाहरण एक असीमित संख्या में हो सकता है, लेकिन सामान्य रूप में, समझ में आ जाती हैं। संक्षेप में प्रस्तुत और एक मेज की घटनाओं के बारे में अर्जित ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए। संभाव्यता सिद्धांत के अध्ययन केवल सभी प्रस्तुत सीरियल में।

कानून

संभाव्यता सिद्धांत - विज्ञान है कि किसी भी घटना के नुकसान की संभावना के अध्ययन करता है। अन्य लोगों की तरह, यह कुछ नियम हैं। संभाव्यता सिद्धांत के निम्नलिखित कानूनों:

• यादृच्छिक चर के दृश्यों के अभिसरण।
• बड़ी संख्या में कानून।

जब एक जटिल की संभावना की गणना जटिल सरल घटनाओं इस्तेमाल किया जा सकता परिणामों आसान और तेज़ तरीका प्राप्त करने के लिए। यह ध्यान देने योग्य है कि संभाव्यता सिद्धांत के कानूनों आसानी से प्रमेयों में से कुछ की मदद से साबित किया जा सकता। हम पहले कानून के साथ परिचित हो शुरू करने के लिए सुझाव देते हैं।

यादृच्छिक चर के दृश्यों के अभिसरण

ध्यान दें कि कई प्रकार के के अभिसरण:

• यादृच्छिक चर के अनुक्रम संभावना में अभिसरण।
• लगभग असंभव।
• आरएमएस अभिसरण।
• वितरण में कन्वर्जेंस।

तो, मक्खी पर, यह बहुत मुश्किल सार समझ है। यहाँ परिभाषाएँ विषय समझने में मदद मिलेगी कि कर रहे हैं। पहले देखो के साथ शुरू करने के लिए। अनुक्रम संभावना में अभिसरण कहा जाता है, यदि निम्न स्थिति: n अनन्तता दृष्टिकोण, संख्या अनुक्रम द्वारा मांगी शून्य से अधिक और यूनिट के करीब है।

अगले दृश्य पर जाएं, लगभग निश्चित रूप से। वे कहते हैं कि अनुक्रम अनन्तता करने के लिए प्रवृत्त n, और आर, एकता के करीब एक मूल्य के लिए प्रवृत्त के साथ एक यादृच्छिक चर करने के लिए लगभग निश्चित रूप से जोड़ देता है।

अगले प्रकार - आरएमएस के अभिसरण। वेक्टर यादृच्छिक प्रक्रियाओं के अनुसूचित जाति-लर्निंग अभिसरण का उपयोग करते समय यादृच्छिक समन्वय प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए कम कर देता है।

पिछले प्रकार था, के संक्षिप्त देखो और समस्याओं के समाधान के लिए सीधे जाने के लिए करते हैं। वितरण में कन्वर्जेंस एक और नाम है - "कमज़ोर", तो क्यों की व्याख्या। कमजोर अभिसरण - सीमा वितरण समारोह की निरंतरता के सभी बिंदुओं पर वितरण कार्यों के अभिसरण है।

वादा रखना सुनिश्चित करें: कमजोर अभिसरण सब से ऊपर से अलग है कि यादृच्छिक चर संभावना अंतरिक्ष पर परिभाषित नहीं है। क्योंकि हालत विशेष रूप से वितरण कार्यों का उपयोग कर बनाई है यह संभव है।

बड़ी संख्या में कानून

कानून का सबूत में महान सहायक जैसे संभाव्यता सिद्धांत के प्रमेयों, हो जाएगा:

• Chebyshev असमानता।
• Chebyshev के प्रमेय।
• सामान्यीकृत Chebyshev प्रमेय।
• मार्कोव प्रमेय।

अगर हम इन सभी प्रमेयों पर विचार करें, तो इस मुद्दे को पत्रक के कई दसियों लग सकता है। व्यवहार में संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोग है - हम मुख्य कार्य है। हम आपको अभी पेशकश करते हैं और करते हैं। लेकिन इससे पहले कि हम संभाव्यता सिद्धांत के एक्सिओम्स पर विचार, वे समस्याओं को सुलझाने में महत्वपूर्ण भागीदार हैं।

सूक्तियों

पहले से, हम पहले से ही, देखा है जब असंभव घटना के बारे में बात। चलो याद रखें: एक असंभव घटना की संभावना शून्य है। उदाहरण हम एक बहुत ही ज्वलंत और यादगार दिया: बर्फ एक हवा का तापमान तीस डिग्री सेल्सियस गिर गया।

दूसरा इस प्रकार है: एक निश्चित घटना संभावना एकता के साथ होता है। अब हम दिखा देंगे कि यह कैसे गणितीय भाषा की मदद से लिखा है: पी (बी) = 1।

तीसरा: एक यादृच्छिक घटना हो या न हो, लेकिन संभावना हमेशा शून्य से एक के लिए बदलती हैं। करीब यह एकता, अधिक संभावना है, यदि मान शून्य के करीब है, संभावना बहुत कम है। हम गणितीय भाषा में यह लिख: 0 <पी (सी) <1।

पिछले चौथे स्वयंसिद्ध पर विचार करें, वह यह है कि: दो घटनाओं की संभावना की राशि उनके संभावनाओं की राशि के बराबर है। लिखें गणितीय संदर्भ: पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी)।

संभाव्यता सिद्धांत के एक्सिओम्स - यह एक सरल नियम है कि याद करने के लिए मुश्किल नहीं होगा। चलो कुछ समस्याओं, पहले से ही अर्जित ज्ञान के आधार पर हल करने के लिए कोशिश करते हैं।

लॉटरी टिकट

एक लॉटरी - सबसे पहले, सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें। कल्पना कीजिए कि आप अच्छे भाग्य के लिए एक लॉटरी टिकट खरीदा है। संभावना है कि आप कम से कम बीस रूबल जीतेंगे क्या है? पांच - कुल परिसंचरण एक हजार टिकट, जिनमें से एक पांच सौ रूबल, दस सौ रूबल, बीस और पचास रूबल, और एक सौ के एक पुरस्कार है में शामिल है। कैसे भाग्य के लिए एक रास्ता खोजने के लिए के आधार पर संभावना के सिद्धांत का कार्य। अब एक साथ हम कार्य दृश्य के ऊपर निर्णय का विश्लेषण।

अगर हम पांच सौ रूबल का एक पुरस्कार द्वारा निरूपित, तो ए की संभावना 0.001 के बराबर है। हम कैसे मिलता है? बस कुल संख्या (: 1/1000 इस मामले में) से विभाजित "भाग्यशाली" टिकट की संख्या की जरूरत है।

में - एक सौ रूबल की बढ़त, संभावना 0.01 के बराबर हो जाएगा। अब हम अंतिम क्रिया के रूप में एक ही तरीके से काम किया (10/1000)

सी - अदायगी बीस रूबल है। संभावना का पता लगाएं, यह 0.05 के बराबर है।

टिकट हम दिलचस्पी नहीं कर रहे हैं के बाकी है, उनकी पुरस्कार राशि के रूप हालत में निर्दिष्ट की तुलना में कम है। एक चौथा स्वयंसिद्ध लागू करें: कम से कम बीस रूबल जीतने की संभावना पी (ए) + पी (बी) है + पी (सी)। पत्र पी घटना की उत्पत्ति की संभावना को दर्शाता है, पिछले चरणों में हम पहले से ही उन्हें मिल गया है। यह आवश्यक डेटा, प्रतिक्रिया हम 0.061 मिल डालने के केवल बनी हुई है। यह संख्या नौकरियों के सवाल का जवाब होगा।

कार्ड के डेक

संभाव्यता सिद्धांत पर समस्याएं, वहाँ भी उदाहरण के लिए, अगला काम लेना अधिक जटिल हैं,। इससे पहले कि छत्तीस ताश के पत्तों की आप डेक। आपका काम - ढेर मिश्रण के बिना एक पंक्ति में दो कार्ड आकर्षित करने के लिए, पहली और दूसरी कार्ड इक्के होना चाहिए, सूट कोई फर्क नहीं है।

शुरू करने के लिए, संभावना है कि पहले कार्ड एक इक्का है, चार और छत्तीस द्वारा इस विभाजन पाते हैं। यह अलग रख दें। हम एक दूसरे कार्ड तीन सौ और तीस पांचवें की संभावना के साथ एक इक्का है मिलता है। दूसरी घटना की संभावना निर्भर करता है जो कार्ड पर हम पहले एक खींच लिया, हम में रुचि रखते हैं, यह एक इक्का था या नहीं। इस से यह इस प्रकार है कि घटना में घटना ए पर निर्भर करता है

अगले कदम के लिए हम एक साथ लागू करने की संभावना मिल जाए, यानी, गुणा ए और बी उनके काम इस प्रकार है: एक घटना एक और की सशर्त संभावना से गुणा की संभावना, हम गणना, यह सोचते हैं कि पहली घटना हो गई है यानी, पहले कार्ड हम एक इक्का खींच लिया।

आदेश सभी स्पष्ट है बनने के लिए, के रूप में पद ऐसे तत्व देने की सशर्त संभावना घटना। ऐसा नहीं है कि घटना एक हुआ मानते हुए की जाती है। इस प्रकार यह गणना की जाती है: पी (बी / ए)।

पी (ए _* बी) = पी (ए) _* पी (बी / ए) या पी (ए _* बी) = पी (बी) _* पी (ए / बी): हम हमारी समस्या का हल का विस्तार। .. _{0,11 * (0,09 / 0,11) =} * 0 0,11 , संभाव्यता _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) निकटतम सौवां को गोलाई करके की जाती है हमारे पास है 82 = 0.09। संभावना है कि हम एक पंक्ति में दो इक्के बाहर आकर्षित यह इस प्रकार है कि घटना घटित होने की संभावना बेहद कम है नौ सौंवे बराबर है। मूल्य बहुत छोटा है,।

भूल कक्ष

हम चाहते हैं कि संभावना के सिद्धांत का अध्ययन करता है नौकरियों की कुछ और विकल्प बनाने प्रदान करते हैं। लोगों को आप इस लेख में देखा है में से कुछ के समाधान के उदाहरण के लिए, निम्न समस्या को हल करने का प्रयास करें: लड़का अपने दोस्त के पिछले अंक फोन नंबर भूल गया, लेकिन कॉल बहुत महत्वपूर्ण था के बाद से, तो बदले में प्रत्येक लेने के लिए शुरू कर दिया। हम संभावना है कि वह तीन बार से अधिक नहीं कहेंगे गणना करनी है। समस्या का आसान समाधान, आप नियमों, कानूनों और संभाव्यता सिद्धांत के एक्सिओम्स जानते हैं।

इससे पहले कि आप एक समाधान देखते हैं, अपने दम पर हल करने के लिए प्रयास करें। हम जानते हैं कि बाद वाले आंकड़े दस मूल्यों के लिए कुल, शून्य से नौ हो सकता है। संभावना स्कोर आवश्यक 1/10 है।

अगला हम घटनाओं की उत्पत्ति के लिए विकल्पों पर विचार करने के लिए, हमें लगता है कि लड़का सही अनुमान लगाया है और सही जीता जाने की जरूरत है, इस तरह की घटनाओं की संभावना 1/10 के बराबर है। दूसरा विकल्प: पहली कॉल पर्ची, और दूसरा लक्ष्य। 9/10 अंत हम 1/10 के रूप में मिलता है में 1/9 से गुणा: हम इस तरह की घटनाओं की संभावना की गणना। तीसरा विकल्प: पहले और दूसरे कॉल निकला गलत पता होने के लिए, केवल तीसरी लड़का था, जहां वह चाहता था। इस तरह की घटनाओं की संभावना की गणना: 9/10 8/9 और 1/8 से गुणा, हम 1/10 के परिणाम स्वरूप प्राप्त करते हैं। समस्या हम दिलचस्पी नहीं है की शर्त पर अन्य विकल्प यह बनी हुई है हमें इन परिणामों डालने के लिए, अंत में हम एक 3/10 की है। उत्तर: संभावना है कि एक लड़का 0.3 करने के लिए कोई तीन से अधिक बार, बराबर कहेंगे।

संख्या के साथ कार्ड

आप इससे पहले कि नौ कार्ड, जिनमें से प्रत्येक एक से नौ के लिए एक नंबर लिखा है, संख्या दोहराया नहीं कर रहे हैं। वे एक बॉक्स में डाल दिया और अच्छी तरह से मिश्रण। आप प्रायिकता की गणना करने की जरूरत है कि

• सम संख्या लुढ़का;
• एक दो अंकों।

निर्णय है कि मीटर निर्धारित करना आगे बढ़ने से पहले - सफल मामलों की संख्या है, और n - विकल्पों में से कुल संख्या है। हमें संभावना है कि संख्या सम है पता करते हैं। चार में से यह है कि संख्या की गणना करने के लिए मुश्किल नहीं है, और यह हमारे मी, सभी नौ संभव विकल्प, कि है, मीटर = 9 है। तब संभावना 0.44 या 4/9 के बराबर है।

हम दूसरे मामले में नौ के वेरिएंट की संख्या पर विचार, और एक सफल परिणाम बिल्कुल भी नहीं हो सकता है, यह है कि, मीटर शून्य है। संभावना है कि लंबाई कार्ड एक दो अंकों की संख्या में शामिल होंगे शून्य के रूप में,।