फूरियर श्रृंखला: इतिहास और विज्ञान के विकास के लिए गणितीय तंत्र के प्रभाव

फूरियर श्रृंखला - इस दृश्य मनमाने ढंग से एक पंक्ति में अवधि के लिए कार्यों को चुना। सामान्य शब्दों में, इस समाधान एक ओर्थोगोनल आधार पर विस्तार तत्व कहा जाता है। फूरियर श्रृंखला में कार्यों का विस्तार एकीकरण, भेदभाव में परिवर्तन के गुणों के कारण विभिन्न समस्याओं, साथ ही तर्क अभिव्यक्ति और घुमाव में बदलाव को सुलझाने के लिए काफी शक्तिशाली उपकरण है।

एक व्यक्ति जो उच्च गणित से परिचित है, साथ ही फ्रांसीसी वैज्ञानिक फूरियर का काम करता है के साथ नहीं है, सबसे अधिक संभावना नहीं समझोगे क्या "रैंक" और वे क्या करते। फिर भी इस बदलाव काफी मजबूती से हमारे जीवन में प्रवेश किया है। यह प्रयोग किया जाता है केवल गणित नहीं, लेकिन यह भी भौतिकविदों, दवा की दुकानों, डॉक्टरों, खगोलविदों, seismologists, oceanographers और अन्य। हमें भी महान फ्रांसीसी वैज्ञानिक का काम करता है, जो खोज की है, उसकी समय से आगे के साथ करीब से देख लेते हैं।

आदमी और फूरियर परिणत

फूरियर श्रृंखला तरीकों में से एक (विश्लेषण और अन्य लोगों के साथ) है फूरियर का बदलना। इस प्रक्रिया को जगह हर बार एक व्यक्ति किसी भी ध्वनि सुनता है लेता है। हमारे कान स्वचालित रूप से धर्मान्तरित ध्वनि तरंग। एक लोचदार मध्यम में प्राथमिक कणों के Oscillatory आंदोलन अलग हाइट्स के टन के लिए श्रृंखला (स्पेक्ट्रम) लगातार मात्रा मूल्यों में विस्तार कर रहे हैं। इसके बाद, मस्तिष्क हमारे लिए परिचित आवाज़ में इस डेटा बदल देता है। यह सब हमारी इच्छा या चेतना ही के अतिरिक्त है, लेकिन आदेश की प्रक्रिया है कि कई साल लग उच्च गणित का अध्ययन करने के लिए समझने के लिए।

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फूरियर को बदलने विश्लेषणात्मक, अंकों और अन्य तरीकों किया जा सकता है। सौर चक्र (और अन्य खगोलीय पिंडों) गतिविधि के समुद्री ज्वार और प्रकाश की लहरों से - फूरियर श्रृंखला किसी भी oscillatory प्रक्रियाओं सड़ते के लिए अंक की प्रक्रिया कर रहे हैं। इन गणितीय तकनीकों के प्रयोग से यह समारोह एकत्रित न करने के लिए, sinusoidal घटकों है कि न्यूनतम से अधिकतम करने के लिए जाना है और इसके विपरीत की संख्या में किसी भी oscillatory प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए संभव है। फूरियर बदलना एक समारोह चरण और एक विशेष आवृत्ति के लिए इसी sinusoids के आयाम का वर्णन है। इस प्रक्रिया को एक बहुत ही जटिल समीकरणों जो गर्मी, प्रकाश या विद्युत ऊर्जा की कार्रवाई के तहत होने वाली गतिशील प्रक्रियाओं का वर्णन हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता। इसके अलावा, फूरियर श्रृंखला जटिल waveforms में डीसी घटकों भेद करने के लिए, यह संभव सही ढंग से दवा, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान में प्रयोगात्मक टिप्पणियों की व्याख्या करने के बनाने के लिए इस्तेमाल किया।

ऐतिहासिक जानकारी

इस सिद्धांत के संस्थापक पिता फ्रांसीसी गणितज्ञ झान बेटिस्ट ज़ोजेफ फयूर है। उसका नाम बाद में और इस बदलाव बुलाया गया है। ठोस पदार्थों में गर्मी प्रचार - शुरू में, वैज्ञानिकों का अध्ययन करने और तापीय चालकता के तंत्र को समझाने के लिए एक तकनीक का इस्तेमाल किया। फूरियर सुझाव दिया है कि थर्मल लहर की प्रारंभिक अनियमित वितरण सरल sinusoid, जिनमें से प्रत्येक अपने तापमान न्यूनतम और अधिकतम है, साथ ही उसके चरण होगा में विघटित किया जा सकता है। इस प्रकार इस तरह के प्रत्येक घटक अधिकतम और इसके विपरीत करने के लिए कम से कम से मापा जाना चाहिए। गणितीय समारोह है कि वक्र के ऊपरी और निचले चोटियों का वर्णन करता है, साथ ही प्रत्येक हार्मोनिक के चरण, फूरियर कहा जाता है अभिव्यक्ति की तापमान वितरण का बदलना। कम समग्र वितरण समारोह के सिद्धांत के लेखक है कि गणितीय वर्णन करना मुश्किल है, एक बहुत ही आसान में एक नंबर संभाल करने की समय-समय पर कार्यों की प्रारंभिक वितरण देने की राशि में साइन और कोसाइन,।

रूपांतरण के सिद्धांत और समकालीन के विचारों

वैज्ञानिक की समकालीन - उन्नीसवीं सदी की शुरूआत की अग्रणी गणितज्ञों - इस सिद्धांत को स्वीकार नहीं किया। मुख्य आपत्ति यह है कि असंतत समारोह एक सीधी रेखा या वक्र का वर्णन फट गया फूरियर के अनुमोदन, यह sinusoidal भाव है कि निरंतर कर रहे हैं की राशि के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता था। उदाहरण के लिए, पर विचार के लिए एक "कदम" Heaviside: अपने मूल्य के अंतर के बाईं ओर शून्य और दाईं तरफ से एक है। इस समारोह बंद श्रृंखला के लिए समय चर पर विद्युत प्रवाह की निर्भरता का वर्णन है। समकालीन सिद्धांत यह है कि समय में, ऐसी स्थिति में, एक असंतत अभिव्यक्ति इस तरह के घातीय, साइन, रेखीय या द्विघात के रूप में निरंतर, आम काम करता है, का एक संयोजन द्वारा वर्णित किया जाएगा जब सामना करना पड़ा कभी नहीं किया था।

फूरियर के सिद्धांत में फ्रेंच गणितज्ञों क्या परवाह?

सब के बाद, यदि एक गणितज्ञ बहस करने का अधिकार था, तो, एक अनंत त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला संक्षेप, यह संभव अभिव्यक्ति की कदम का सही प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए है, भले ही वह इसी तरह के कदम का एक सेट है। उन्नीसवीं सदी की शुरूआत में, इस बयान बेतुका लग रहा था। लेकिन सभी संदेहों के बावजूद, कई गणितज्ञों इस घटना के अध्ययन के दायरे का विस्तार किया है, थर्मल चालन पढ़ाई से परे यह घूम रहा है। हालांकि, ज्यादातर वैज्ञानिकों प्रश्न पीड़ित के लिए जारी रखा: "कर सकते हैं साइन वेव श्रृंखला का योग एक असंतत समारोह का सही मूल्य को अभिसरण"

फूरियर श्रृंखला के कन्वर्जेंस: उदाहरण

अभिसरण के मुद्दे हर बार जब आप संख्या की एक अनंत श्रृंखला के समेशन की जरूरत बढ़ जाता है। इस घटना की समझ के लिए एक उत्कृष्ट उदाहरण पर विचार करें। यदि आप कभी भी, दीवार तक पहुँच सकते हैं, तो हर कदम आधा पिछले है? मान लीजिए आप लक्ष्य से दो मीटर कर रहे हैं, आधे रास्ते के आसपास के करीब पहला कदम है, अगले - एक तीन-चौथाई का निशान, और पांचवें के बाद, आप रास्ते से लगभग 97 प्रतिशत पर काबू पाने जाएगा। हालांकि, कोई फर्क नहीं पड़ता कितने कदम आपके द्वारा किए गए न, अभीष्ट लक्ष्य आप एक सख्त गणितीय अर्थ में पहुंच जाते हैं। संख्यात्मक गणनाओं का उपयोग करना, हम अंत में साबित कर सकते हैं कि एक मनमाने ढंग से छोटे निर्धारित दूरी के करीब हो सकता है। इस बात का सबूत का प्रदर्शन है कि एक आधा, एक चौथाई, और इतने पर का कुल मूल्य। ई एकता के लिए करते हैं जाएगा के बराबर है।

अभिसरण के मुद्दे: दूसरा आने वाले, या लार्ड केल्विन के साधन

बार-बार सवाल है, उन्नीसवीं सदी के अंत में तब पैदा हुआ जब फूरियर श्रृंखला ebbs और प्रवाह की तीव्रता भविष्यवाणी करने के लिए उपयोग करने के लिए कोशिश की है। उस समय, लार्ड केल्विन आविष्कार किया गया था डिवाइस एक एनालॉग कंप्यूटर जिसकी अनुमति नाविकों नौसेना और व्यापारी समुद्री निगरानी के एक प्राकृतिक घटना है। इस तंत्र में परिभाषित चरणों और ज्वार और इसी समय क्षणों में से तालिका ऊंचाई के आयाम के सेट, ध्यान से साल भर बंदरगाह में मापा जाता है। प्रत्येक पैरामीटर एक sinusoidal घटक अभिव्यक्ति ज्वार ऊंचाइयों है और नियमित रूप से घटकों में से एक था। माप परिणाम, कंप्यूटिंग डिवाइस लार्ड केल्विन के लिए इनपुट हैं वक्र है कि अगले वर्ष के एक समारोह के रूप में पानी की ऊंचाई की भविष्यवाणी की synthesizing। बहुत जल्द ही, इन घटता दुनिया के सभी बंदरगाहों के लिए तैयार कर रहे थे।

और इस प्रक्रिया असंतत समारोह विभाजित कर दिया जाएगा तो क्या होगा?

उस समय, यह स्पष्ट है कि इस उपकरण में एक समुद्री लहर, खाते के कई तत्वों के साथ भविष्यवाणी चरणों और आयाम की एक बड़ी संख्या की गणना कर सकते हैं, और इसलिए एक और अधिक सटीक भविष्यवाणी करने लग रहा था। फिर भी, यह पता चला कि इस पैटर्न मामलों में जहां ज्वार अभिव्यक्ति है कि संश्लेषित किया जाएगा, एक तेज छलांग निहित, वह है, असंतत हैं में नहीं मनाया जाता है। घटना में है कि उपकरण समय अंक की एक तालिका से डेटा में प्रवेश करने में, यह कुछ फूरियर गुणांक गणना करता है। sinusoidal घटक (पाया गुणांक के अनुसार) की वजह से मूल कार्य पुन: प्राप्त करना। मूल और पुनर्निर्मित अभिव्यक्ति के बीच विसंगति किसी भी बिंदु पर मापा जा सकता है। जब दोहराने गणना और तुलना देखा जा सकता है कि सबसे बड़ा त्रुटि का मूल्य कम नहीं है। हालांकि, वे क्षेत्र टूटना की बात करने के लिए इसी में स्थानीयकृत हैं, और किसी भी अन्य बिंदु शून्य करने के लिए करते हैं। 1899 में, इस परिणाम येल विश्वविद्यालय के सैद्धांतिक रूप से यहोशू विलार्ड गिब्स पुष्टि की गई।

फूरियर श्रृंखला के कन्वर्जेंस और एक पूरे के रूप गणित के विकास

फूरियर विश्लेषण एक निश्चित अंतराल पर फटने की एक अनंत संख्या वाले भाव पर लागू नहीं होता। सामान्य फूरियर श्रृंखला में, मूल कार्य वास्तविक भौतिक माप के परिणाम का प्रतिनिधित्व करती है, तो, हमेशा जमा होते है। कार्यों के विशिष्ट वर्गों के लिए इस प्रक्रिया के अभिसरण का प्रश्न गणित के नए शाखाओं जैसे सामान्यीकृत कार्यों के सिद्धांत के रूप में हुई है। यह इस तरह के श्वार्ट्ज, जम्मू .. Mikusiński और जे मंदिर के रूप में नाम के साथ जुड़ा हुआ है। इस सिद्धांत के तहत, इस तरह के अभिव्यक्ति के लिए एक स्पष्ट और सटीक सैद्धांतिक आधार डिराक डेल्टा समारोह (यह एक ही क्षेत्र के क्षेत्र, बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में केंद्रित का वर्णन करता है) और "कदम" Heaviside के रूप में स्थापित किया गया है। बिंदु आवेश, बिंदु जन, चुंबकीय द्विध्रुव, और बीम पर केंद्रित लोड: इस काम के माध्यम से फूरियर श्रृंखला समीकरण और समस्याओं, जो सहज अवधारणाओं को शामिल हल करने के लिए लागू हो गया।

फूरियर विधि

फूरियर श्रृंखला, हस्तक्षेप के सिद्धांतों के अनुसार, सरल में जटिल रूपों के अपघटन के साथ शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए, गर्मी अनियमित आकार की सामग्री इंसुलेटिंग या जमीन की सतह को बदलने के विभिन्न बाधाओं के माध्यम से इसके पारित होने की वजह से गर्मी प्रवाह में बदलाव - एक भूकंप, आकाशीय शरीर की कक्षा में एक परिवर्तन - ग्रहों के प्रभाव। आमतौर पर, इन समीकरणों सरल शास्त्रीय प्रणाली प्राथमिक का वर्णन प्रत्येक व्यक्ति के तरंग दैर्ध्य के लिए हल। फूरियर पता चला है कि सरल समाधान अधिक जटिल कार्य के लिए के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता। गणित की भाषा में, फूरियर श्रृंखला - कोज्या और साइन तरंगों - के हार्मोनिक अभिव्यक्ति राशि जमा करने की एक पद्धति। इसलिए, इस विश्लेषण भी नाम "हार्मोनिक विश्लेषण" के अंतर्गत जाना जाता है।

फूरियर श्रृंखला - "कंप्यूटर युग" के लिए एक आदर्श विधि

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी फूरियर विधि के निर्माण से पहले हमारी दुनिया की तरंग प्रकृति के साथ काम करने वैज्ञानिकों के शस्त्रागार में सबसे अच्छा हथियार है। जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला आप न केवल साधारण समस्याओं कि यांत्रिकी के न्यूटन के नियम के आवेदन निर्देशित करने के लिए उत्तरदायी होते हैं, लेकिन यह भी मौलिक समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है। उन्नीसवीं सदी के न्यूटन विज्ञान की खोजों में से अधिकांश केवल फूरियर विधि की वजह से संभव हो गया।

फूरियर श्रृंखला आज

फूरियर के विकास के साथ बदलना कंप्यूटर एक नए स्तर पर बढ़ रही है। इस तकनीक को मजबूती से विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग सभी क्षेत्रों में आरोपित किया गया है। एक उदाहरण, एक डिजिटल ऑडियो और वीडियो के रूप में। इसके कार्यान्वयन उन्नीसवीं सदी की शुरूआत की फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा विकसित सिद्धांत के लिए संभव ही धन्यवाद किया गया है। इस प्रकार, जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला बाह्य अंतरिक्ष के अध्ययन में एक सफलता बनाने के लिए अनुमति दी गई है। इसके अलावा, यह अर्धचालक पदार्थों और प्लाज्मा, माइक्रोवेव ध्वनिकी, समुद्र विज्ञान, रडार, भूकम्प विज्ञान के भौतिकी के अध्ययन को प्रभावित किया है।

त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला

गणित में, एक फूरियर श्रृंखला सरल की राशि के रूप में मनमाने ढंग से जटिल कार्य का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है। सामान्य मामलों में, भाव की संख्या अनंत हो सकता है। अधिक से अधिक संख्या गणना में गिना, और अधिक सटीक अंतिम परिणाम प्राप्त की है। सरल त्रिकोणमितीय कोज्या या साइन समारोह का सबसे आम उपयोग। इस मामले में, फूरियर श्रृंखला त्रिकोणमितीय कहा जाता है, और इस तरह के भाव के निर्णय - हार्मोनिक अपघटन। इस विधि गणित के क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। सबसे पहले, त्रिकोणमितीय श्रृंखला छवि के लिए एक साधन है, साथ ही कार्यों का अध्ययन प्रदान करता है, यह सिद्धांत का मुख्य इकाई है। इसके अलावा, यह गणितीय भौतिकी में कई समस्याओं का हल करने के लिए अनुमति देता है। अंत में, इस सिद्धांत विकास में योगदान दिया गणितीय विश्लेषण का, यह गणितीय विज्ञान (अभिन्न के सिद्धांत, समय-समय पर कार्यों का सिद्धांत) का बहुत महत्वपूर्ण शाखाओं के एक नंबर को जन्म दिया। इसके अलावा, निम्नलिखित के विकास के लिए प्रारंभिक बिंदु सिद्धांतों: सेट, एक वास्तविक चर, के कार्यों कार्यात्मक विश्लेषण, और यह भी हार्मोनिक विश्लेषण की नींव रखी।