रसेल के विरोधाभास: बुनियादी जानकारी, उदाहरण, निर्माण

रसेल विरोधाभास दो अन्योन्याश्रित तार्किक ही विरोधाभास है।

रसेल के विरोधाभास के दो रूप

तर्क सेट में एक विरोधाभास की सबसे अधिक बार चर्चा की प्रपत्र। सेट में से कुछ के लिए खुद को सदस्यों, और दूसरों को हो रहा है - कोई। सभी सेट के सेट अपने आप में एक सेट है, तो ऐसा लगता है कि यह अपने आप को दर्शाता है। शून्य या रिक्त, लेकिन, खुद का सदस्य नहीं होना चाहिए। इसलिए, सभी सेट के सेट, शून्य के रूप में ही शामिल नहीं है। विरोधाभास पैदा होती है जब कि क्या अपने आप के एक सदस्य के सेट का सवाल। यदि और केवल यदि ऐसा नहीं है यह संभव है।

दूसरा रूप विरोधाभास गुणों के बारे में एक विरोधाभास है। कुछ गुण,, खुद को संदर्भित करने लगता है, जबकि दूसरों को नहीं। संपत्ति, संपत्ति अपने आप में एक संपत्ति है होना करने के लिए है, जबकि संपत्ति एक बिल्ली नहीं है, यह हो सकता है। एक संपत्ति है कि उसे करने के लिए संबंधित नहीं है होने की संपत्ति पर विचार करें। यह अपने आप पर लागू होता है तो क्या होगा? फिर, मान्यताओं के किसी भी विपरीत होना चाहिए। विरोधाभास बर्टराण्ड रसेल (1872-1970), जो इसे 1901 में पता चला के सम्मान में नामित किया गया था।

कहानी

उद्घाटन रसेल "गणित के सिद्धांतों" पर अपने काम के दौरान हुई। हालांकि वह विरोधाभास स्वतंत्र रूप से खोज की है, इस बात के प्रमाण है कि अन्य गणितज्ञों और अर्न्स्ट ज़रमेलो और सहित सेट सिद्धांत, के डेवलपर्स है डेविड हिल्बर्ट, उसे पहले विरोधाभासों के पहले संस्करण के बारे में जानते थे। रसेल, तथापि, पहले जो विस्तार से उसकी प्रकाशित कृतियों में विरोधाभास पर चर्चा की थी पहले समाधान तैयार करने के लिए करने की कोशिश की और पूरी तरह से इसके महत्व की सराहना करने के लिए पहले। "सिद्धांत" का एक पूरे अध्याय को इस मुद्दे की चर्चा करने के लिए समर्पित किया गया था, और आवेदन प्रकार के सिद्धांत है, जो रसेल एक समाधान के रूप में प्रस्तावित करने के लिए समर्पित किया गया था।

रसेल झूठा की "विरोधाभास 'की खोज की, कैंटर सेट सिद्धांत है कि कहते हैं किसी भी सेट की शक्ति अपने सबसेट के सेट से छोटी है कि विचार। यदि प्रत्येक तत्व में से एक सबसेट केवल इस तत्व से युक्त सेट किया गया है के रूप में उसमें तत्व हैं डोमेन कम से कम के रूप में कई सबसेट होना चाहिए,। इसके अलावा, कैंटर साबित कर दिया कि तत्वों की संख्या सबसेट की संख्या के बराबर नहीं हो सकता। अगर वहाँ एक ही नंबर थे, यह ƒ विशेषता यह है कि उनके सबसेट पर तत्व प्रदर्शित होता मौजूद होगा। साथ ही यह साबित किया जा सकता है कि इस असंभव है। कुछ आइटम, समारोह ƒ सबसेट उन्हें शामिल करने पर प्रदर्शित किया जा सकता है, जबकि दूसरों को नहीं हो सकता है।

तत्वों है कि उनके चित्र, जिसमें वे ƒ प्रदर्शित करने के लिए संबंधित नहीं है के सबसेट पर विचार करें। यह अपने आप तत्वों का एक सबसेट है, और इसलिए, ƒ समारोह डोमेन में एक तत्व पर प्रदर्शित होगा। समस्या यह है कि उसके बाद सवाल इस तत्व सबसेट यह ƒ को प्रदर्शित करता है जो करने के लिए से संबंधित है या के रूप में उत्पन्न होता है। यह तभी संभव है अगर यह संबंधित नहीं है। रसेल के विरोधाभास तर्क की एक ही पंक्ति का एक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है, केवल सरल बनाया। सेट या सेट के सबसेट - क्या अधिक है? यह प्रतीत होता है कि वहाँ अधिक सेट होना चाहिए, सेट अपने बारे में सब सबसेट के रूप में। लेकिन अगर कैंटर की प्रमेय सच है, तो अधिक सबसेट होना चाहिए। रसेल बस में माना स्वयं पर सेट प्रदर्शित करने और इन सभी तत्वों, एक सेट जिसमें वे प्रदर्शित किए जाते हैं के बाहर के सेट पर विचार kantoriansky दृष्टिकोण लागू होता है। दिखा रसेल सभी सेट, एक गैर के सेट हो जाता है।

त्रुटि फ्रेज

"झूठा का विरोधाभास" सेट के सिद्धांत के ऐतिहासिक विकास पर गहरा प्रभाव पड़ा। उन्होंने दिखाया है कि सार्वभौमिक सेट की अवधारणा अत्यधिक समस्याग्रस्त है। उन्होंने यह भी धारणा है कि प्रत्येक परिभाषित हालत या विधेय के लिए केवल उन चीजों है कि इस हालत को संतुष्ट की बहुलता के अस्तित्व मान सकते हैं पर सवाल उठाया। संस्करण सेट करने के लिए एक स्वाभाविक विस्तार - - विकल्प गुण के विषय में विरोधाभास है कि क्या यह संभव है एक संपत्ति का उद्देश्य अस्तित्व या हालत, या विधेय द्वारा निर्धारित प्रत्येक के लिए एक सार्वभौमिक अनुरूप के बारे में बहस करने के लिए के रूप में गंभीर संदेह उठाया।

जल्द ही विरोधाभासों और logicians के काम में समस्याओं पाए गए, दार्शनिकों और गणितज्ञ कहा जाता है इसी तरह की मान्यताओं बना दिया है। 1902 में, रसेल ने पाया कि विरोधाभास का एक प्रकार, गौटलोब फ्रेज के "गणित की नींव 'की माप मैं, देर XIX के तर्क पर मुख्य कार्यों में से एक में विकसित एक तार्किक प्रणाली में व्यक्त किया जा सकता है - जल्दी XX सदी। फ्रेज के दर्शन में कई एक "एक्सटेंशन" या "मूल्य दूरी" की अवधारणा के रूप में समझा। अवधारणाओं संबद्ध के उन लोगों के सबसे करीब हैं। वे किसी भी हालत या विधेय के लिए मौजूद हैं की संभावना है। इस प्रकार, वहाँ एक सेट है, जो अपने को परिभाषित अवधारणा के तहत नहीं आता है की एक अवधारणा है। वहाँ भी एक वर्ग इस अवधारणा से परिभाषित किया गया है, और यह अपनी अवधारणा केवल अगर यह नहीं है परिभाषित करने के अधीन है।

रसेल जून 1902 में इस संघर्ष के बारे में फ्रेज को पत्र लिखा पत्राचार सबसे रोमांचक में से एक बन गया है और तर्क के इतिहास में के बारे में बात की थी। फ्रेज तुरंत विरोधाभास के विनाशकारी परिणाम को मान्यता दी। उन्होंने कहा, हालांकि, कि उसके दर्शन में गुणों के बारे में विवाद का संस्करण का स्तर की अवधारणाओं के बीच भेद द्वारा हल किया गया था।

फ्रेज का धारणा सही पर समारोह के तर्कों से संक्रमण के रूप में समझा। अवधारणाओं प्रथम स्तर तर्क दूसरे स्तर अवधारणाओं की वस्तुओं इन कार्यों के लिए तर्क, और इतने पर के रूप में लेने के रूप में ले रही है। इस प्रकार, अवधारणा ही एक तर्क के रूप में कभी नहीं ले जा सकते हैं, और गुणों के संदर्भ में विरोधाभास तैयार नहीं किया जा सकता। फिर भी सेट, विस्तार या अवधारणाओं फ्रेज अन्य सभी वस्तुओं की तरह ही तार्किक प्रकार की चर्चा करते हुए के रूप में समझा। तो हर सेट के लिए वहाँ एक सवाल यह है कि यह यह परिभाषित करने की अवधारणा के तहत होता है।

जब फ्रेज, रसेल पहले अक्षर, "गणित की नींव" के दूसरे मात्रा प्राप्त की पहले से ही प्रिंट समाप्त हो गया है। वह जल्दी से एक आवेदन है कि रसेल के विरोधाभास का जवाब देता है तैयार करने के लिए मजबूर किया गया। उदाहरण फ्रेज संभव समाधान की एक संख्या है। लेकिन वह एक तार्किक प्रणाली में अमूर्त सेट की अवधारणा को कमजोर करने के निष्कर्ष पर पहुंचा।

मूल रूप से, यह निष्कर्ष निकला कि वस्तु सेट के अंतर्गत आता है यदि और केवल यदि यह अवधारणा के दायरे में आता है, यह परिभाषित करता है संभव था। संशोधित प्रणाली केवल निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वस्तु सेट के अंतर्गत आता है यदि और केवल यदि यह बहुलता को परिभाषित करने की धारणा के दायरे में आता है, लेकिन सवाल में सेट नहीं है। रसेल के विरोधाभास पैदा होता है।

समाधान है, तथापि, पूरी तरह से फ्रेज से संतुष्ट नहीं है। और यह कारण था। कई साल बाद, विरोधाभास के और अधिक जटिल प्रपत्र संशोधित प्रणाली के लिए पाया गया है। लेकिन इससे पहले यह हुआ, फ्रेज अपने फैसले को त्याग दिया और निष्कर्ष यह है कि अपने दृष्टिकोण बस असाध्य था में आने के लिए लगता है, और उस तर्क सेट में से किसी के बिना करना होगा।

फिर भी अन्य लोगों प्रस्तावित किया गया है, अपेक्षाकृत अधिक सफल वैकल्पिक समाधान। ये नीचे चर्चा कर रहे हैं।

प्रकार के सिद्धांत

यह ध्यान दिया इसके बाद के संस्करण कि फ्रेज विरोधाभास के लिए एक पर्याप्त प्रतिक्रिया थी सेट सिद्धांत के संस्करण में संपत्तियों के लिए तैयार की। फ्रेज की प्रतिक्रिया विरोधाभास के इस रूप को सबसे अधिक बार चर्चा की समाधान से पहले किया गया था। यह तथ्य यह है कि गुण विभिन्न प्रकार के अधीन हैं और संपत्ति की किस प्रकार आइटम जो करने के लिए यह दर्शाता है के रूप में ही नहीं है पर आधारित है।

इस प्रकार, भले नहीं सवाल उठता है, चाहे संपत्ति खुद के लिए लागू है। तार्किक भाषा है, जो इस तरह के एक पदानुक्रम के तत्वों को अलग करती है, प्रकार के सिद्धांत का उपयोग कर। हालांकि यह पहले से ही फ्रेज, पहली बार द्वारा किया जाता है यह पूरी तरह से समझाया गया है और "सिद्धांत" के लिए अनुबंध में रसेल पुष्टि। प्रकार के सिद्धांत फ्रेज स्तरों का गौरव प्राप्त की तुलना में अधिक पूरा हो गया। वह गुण न केवल तर्क के विभिन्न प्रकार, लेकिन यह भी सेट कर रहे हैं साझा की है। रसेल इस प्रकार का विरोधाभास में विरोधाभास को हल करने सिद्धांत टाइप करें।

आदेश में एक दार्शनिक पर्याप्त होने के लिए, गुण के प्रकार के सिद्धांत को अपनाने कि इतने गुण की प्रकृति के सिद्धांत के विकास की आवश्यकता है समझा सकता है क्यों वे खुद को लागू नहीं किया जा सकता है। पहली नज़र में, यह अपने स्वयं के संपत्ति विधेय के लिए समझ में आता है। स्वयं की पहचान की जा रही है की संपत्ति है, यह प्रतीत होता है, यह भी एक अपनी पहचान है। संपत्ति एक अच्छा सुखद हो रहा है। उसी तरह, जाहिरा तौर पर, यह गलत कहना है कि एक बिल्ली होने का गुण एक बिल्ली है लगता है।

फिर भी, विभिन्न विचारकों विभिन्न प्रकार के विभाजन को सही ठहराया। रसेल भी अपने करियर में अलग अलग समय पर अलग अलग स्पष्टीकरण दे दी है। इसके भाग के लिए, फ्रेज स्तरों के विभिन्न अवधारणाओं की जुदाई के लिए तर्क असंतृप्त अवधारणाओं के अपने सिद्धांत से आता है। समारोह के रूप में अवधारणाओं, संक्षेप में, अपूर्ण हैं। मूल्य प्रदान करने के लिए, वे एक बहस की जरूरत है। तुम्हें पता है, एक ही प्रकार की अवधारणा विधेय के लिए नहीं सिर्फ एक अवधारणा है क्योंकि यह अभी भी अपने तर्क की आवश्यकता कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, हालांकि यह संभव है एक संख्या का वर्गमूल का वर्गमूल लेने के लिए, आप सिर्फ एक वर्गमूल समारोह वर्गमूल समारोह के लिए इस्तेमाल करते हैं और एक परिणाम प्राप्त नहीं कर सकते।

रूढ़िवाद गुणों के बारे में

एक अन्य संभावित समाधान किसी भी स्थिति है, या एक अच्छी तरह से गठित विधेय के तहत विरोधाभास गुण निषेध गुण अस्तित्व है। बेशक, अगर किसी को एक पूरे के रूप में दोनों उद्देश्य और स्वतंत्र तत्वों के आध्यात्मिक गुण eschews, अगर हम नामरूपवाद विरोधाभास ले पूरी तरह से बचा जा सकता है।

हालांकि, ही विरोधाभास को हल करने के इतने चरम होने की जरूरत नहीं। तर्क उच्च आदेश प्रणाली जिसके अनुसार विकसित फ्रेज और रसेल, शामिल क्या एक वैचारिक सिद्धांत कहा जाता है, प्रत्येक खुला सूत्रों कैसे परिसर में एक संपत्ति या उदाहरण के लिए अवधारणा, केवल उन वस्तुओं है कि सूत्र से मेल के हिस्से के रूप में मौजूद है की परवाह किए बिना। वे चाहे कितना जटिल वे थे शर्तों या विधेय, के हर संभव सेट की विशेषताओं के लिए आवेदन किया।

फिर भी, यह एक और अधिक कठोर तत्वमीमांसा गुण लेने के लिए, सही इस तरह के लाल रंग, दृढ़ता, दयालुता और इतने पर के रूप में उदाहरण के लिए सहित सरल गुण का उद्देश्य अस्तित्व के लिए दे रही है,,, संभव हो गया था। डी तुम भी दे सकते हैं इन गुणों ऐसी दयालुता के रूप में, खुद के लिए लागू कर सकते हैं तरह का हो।

और जटिल विशेषताओं के लिए एक ही स्थिति से इनकार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, हो रही सत्रह प्रमुखों के रूप में इस तरह के "गुण", अंडर पानी जा लिखा और की तरह। डी इस मामले में, कोई पूर्व निर्धारित शर्त संपत्ति को पूरा नहीं करता, के रूप में अलग से समझ में आ मौजूदा तत्व, जो अपनी ही गुण है। इस प्रकार एक साधारण गुण के अस्तित्व से इनकार कर सकती हो-संपत्ति-कि-गैर लागू किया पास स्वयं के लिए और अधिक रूढ़िवादी आध्यात्मिक गुण लगाने से विरोधाभास से बचें।

रसेल के विरोधाभास: समाधान

ऊपर यह पाया गया कि अपने जीवन के अंत में फ्रेज पूरी तरह से सेट के तर्क को छोड़ दिया। यह जाहिर है, एक ही विरोधाभास को सेट के रूप में समाधान: एक पूरे के रूप में इस तरह के तत्वों के अस्तित्व का एक सरल इनकार। इसके अलावा, अन्य लोकप्रिय विकल्प हैं, मूल बातें, जिनमें से नीचे दिखाया गया हैं।

के कई प्रकार के सिद्धांत

जैसा कि पहले उल्लेख, रसेल प्रकार, जो विभिन्न प्रकार के न केवल गुण या अवधारणाओं का हिस्सा होगा की अधिक विस्तृत जानकारी सिद्धांत के लिए खेला जाता है, लेकिन यह भी निर्धारित किया है। रसेल अलग इकाइयों की बहुलता पर साझा समूह, अलग वस्तुओं, आदि के सेट की अधिकता वस्तुओं के सेट पर विचार नहीं किया गया है, और सेट की अधिकता - .. सेट। कभी नहीं का एक बहुत, प्रकार का आनंद लिया आप ही के एक सदस्य के रूप में देता है। इसलिए है क्योंकि यह एक सदस्य के रूप में है या नहीं, अपने आप में एक उल्लंघन प्रकार है के बारे में सवाल के किसी सेट के लिए सभी सेट है कि अपनी खुद की सदस्य नहीं हैं कोई निर्धारित है। फिर, यहां मुद्दा यह है तत्वमीमांसा सेट की व्याख्या करने के प्रकार में विभाजन के दार्शनिक नींव समझाने के लिए है।

स्तर-विन्यास

1937 में, वी वी Kuayn एक तरीका प्रकार के सिद्धांत के समान कोई वैकल्पिक समाधान की पेशकश की है,। इसके बारे में बुनियादी जानकारी है।

तत्व सेट और अन्य शामिल हैं। बनाया ताकि अधिकता पाने की धारणा हमेशा गलत या व्यर्थ है को अलग। सेट जब उनकी स्थिति को परिभाषित ही उपलब्ध कराया जा सकता उल्लंघन प्रकार नहीं कर रहे हैं। इस प्रकार, Quine के लिए, अभिव्यक्ति "एक्स नहीं एक्स के एक सदस्य है" सार्थक बयान की इस हालत संतोषजनक सभी तत्वों एक्स सेट के अस्तित्व का संकेत नहीं करता है।

इस प्रणाली में एक सेट कुछ खुले सूत्र के लिए मौजूद है यदि और केवल यदि यह स्तरीकृत है, टी। ई चर इस तरह यह चर पूर्ववर्ती की अधिकता के प्रत्येक विशेषता घटना के लिए काम इकाई असाइन किया गया है चर की तुलना में छोटे है कि धनात्मक पूर्णांक आवंटित कर रहे हैं, तो उसके बाद निम्नलिखित। इस ब्लॉक रसेल के विरोधाभास है, क्योंकि सूत्र समस्या सेट का निर्धारण किया जाता है, वहाँ एक ही से पहले और चर सदस्यता संकेत यह unstratified करने के बाद है।

लेकिन यह है कि क्या है, जिसके परिणामस्वरूप प्रणाली, जो Quine बुलाया "गणितीय तर्क की नई नींव" लगातार निर्धारित करने के लिए अभी बाकी है।

अस्वीकार

Fraenkel (जेडएफ) - एक पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण Zermelo के सिद्धांत में लिया जाता है। यहां भी, सेट के अस्तित्व पर एक सीमा निर्धारित करें। इसके बजाय, रसेल और फ्रेज, की "ऊपर से नीचे" जो शुरू में सोचा था कि सभी अवधारणाओं, गुण, या स्थितियों के लिए इस संपत्ति के साथ सभी चीजों के सेट के अस्तित्व का सुझाव दे सकते या जेडएफ-सिद्धांत में इस तरह के एक शर्त को पूरा करने, दृष्टिकोण, सब कुछ शुरू होता है "नीचे से ऊपर।"

रिक्त समुच्चय का और अलग-अलग तत्वों एक सेट के रूप में। इसलिए, पहले की प्रणालियों और रसेल फ्रेज फिट विपरीत सार्वभौमिक सेट जो सभी तत्वों और यहां तक कि सभी सेट शामिल करने के लिए संबंधित नहीं है। जेडएफ सेट के अस्तित्व पर एक सीमा निर्धारित करता है। केवल मौजूद हो सकता है उन जिसके लिए यह स्पष्ट रूप से माना जाता है या पुनरावृत्ति प्रक्रियाओं और तरह के माध्यम से तैयार किया जा सकता है। डी

फिर, अवधारणा अमूर्त अनुभवहीन सेट के बजाय कहा गया है जो कि एक विशेष तत्व सेट में शामिल किया गया है अगर और सिर्फ़ अगर यह जुदाई का इस्तेमाल किया डीएफ, जुदाई या "छँटाई" सिद्धांत रूप में शर्तों को पूरा करता। सभी तत्व है जो बिना किसी अपवाद के हैं के सेट के अस्तित्व मानते हुए एक निश्चित शर्त पूरी प्रत्येक मौजूदा सेट के लिए करने के बजाय Aussonderung मूल सेट जो हालत को संतुष्ट करता है के सभी तत्वों के एक सबसेट के अस्तित्व को इंगित करता है।

तब अमूर्त सिद्धांत आता है: सेट एक से मौजूद है, तो, अगर एक में सभी एक्स के लिए, एक्स सबसेट एक है, जो हालत को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि एक्स संतुष्ट हालत सी यह दृष्टिकोण का समाधान करता है विरोधाभास रसेल, के बाद से हम केवल कल्पना नहीं कर सकते के अंतर्गत आता है कि, सभी सेट कि खुद के सदस्य नहीं हैं का सेट है।

सेट का एक बहुत हो रही है, आप चुन सकते हैं या यह सेट है, जो अपने आप में कर रहे हैं, और जो लोग इस तरह के नहीं हैं में विभाजित है, लेकिन बाद से वहाँ कोई सार्वभौमिक सेट है कि हम सभी सेट के सेट के लिए बाध्य नहीं कर रहे हैं। समस्या यह सोचते हैं बिना सेट रसेल विरोधाभास साबित नहीं किया जा सकता है।

अन्य समाधान

इसके अलावा, इस तरह के "गणित के सिद्धांतों" प्रणाली विस्तार "गणितीय तर्क" Quine, साथ ही सेट के सिद्धांत में और हाल ही में विकास का एक कांटा प्रकार सिद्धांत के रूप में बाद के एक्सटेंशन या इन समाधानों में से संशोधनों, किया गया है, Bernays, गोडेल और वॉन न्यूमैन बनाया है। चाहे अघुलनशील विरोधाभास बर्टराण्ड रसेल के जवाब पाए जाने वाले प्रश्न, अभी भी बहस का विषय है।