वास्तविक संख्या और उनके गुणों

पाइथागोरस ने दावा किया संख्या प्रमुख तत्वों के साथ एक सममूल्य पर दुनिया की नींव है। प्लेटो का मानना था कि लिंक घटना और noumenon, पता करने के लिए, की मदद से की संख्या तौला जाना करने के लिए और निष्कर्ष निकालने के लिए। नंबर, गणित के क्षेत्र में प्रारंभिक बिंदु - अंकगणित शब्द "arifmos" से आता है। प्राथमिक से सेब सार रिक्त स्थान के लिए - यह किसी भी वस्तु का वर्णन करने के लिए संभव है।

एक विकास कारक के रूप में की जरूरत है

समाज के विकास के प्रारंभिक चरण में लोगों की जरूरतों को जरूरत से विवश स्कोर रखने के लिए - .. अनाज, दो अनाज बैग, आदि में से एक बैग ऐसा करने के लिए, यह गया था प्राकृतिक संख्या, सेट जिनमें से धनात्मक पूर्णांक एन की एक अनंत अनुक्रम है

बाद में, एक विज्ञान के रूप गणित के विकास, यह पूर्णांकों जेड के विशिष्ट क्षेत्र में जरूरी हो गया था - यह नकारात्मक मूल्यों और शून्य भी शामिल है। घरेलू स्तर पर उनकी उपस्थिति, यह तथ्य यह है कि प्रारंभिक लेखांकन किसी भी तरह ऋण और नुकसान को ठीक करने के लिए किया था द्वारा उकसाया गया था। एक वैज्ञानिक स्तर पर, ऋणात्मक संख्याओं यह आसान हल करने के लिए संभव बना दिया है रेखीय समीकरण। अन्य बातों के अलावा, यह अब संभव छवि के लिए एक छोटी सी समन्वय प्रणाली, यानी है। ए एक संदर्भ बिन्दु नहीं था।

अगले कदम के लिए आंशिक नंबर दर्ज करने की आवश्यकता थी, क्योंकि विज्ञान अभी भी खड़े नहीं करता है, अधिक से अधिक नई खोजों के लिए एक नया धक्का विकास के लिए एक सैद्धांतिक आधार की मांग की। तो वहाँ एक क्षेत्र था परिमेय संख्याओं के प्र

अंत में, अब और नहीं, समझदारी की जरूरतों को पूरा, क्योंकि सभी नए निष्कर्ष औचित्य की आवश्यकता है। वास्तविक संख्या आर के एक क्षेत्र, उनके तर्कहीनता की वजह से कुछ मात्रा में यूक्लिड के तारतम्यहीनता का काम करता है थे। यही कारण है, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ एक निरंतर के रूप में तैनात न केवल संख्या है, लेकिन एक अमूर्त मूल्य जो अतुलनीय परिमाण के अनुपात की विशेषता है के रूप में। तथ्य यह है वास्तविक संख्या देखते हैं कि के कारण, इस तरह के "अनुकरणीय" और "ई" है, जो बिना आधुनिक गणित जगह ले लिया है नहीं कर सका के रूप में मूल्यों "हम प्रकाश को देखा"।

अंतिम नवाचार था एक जटिल संख्या सी यह प्रश्नों की एक श्रृंखला के जवाब दिए और पहले दर्ज किए गए तत्वों का खंडन किया। बीजगणित परिणाम का तेजी से विकास के कारण उम्मीद के मुताबिक था - वास्तविक संख्या के साथ, कई समस्याओं के निर्णय संभव नहीं था। उदाहरण के लिए, जटिल संख्याओं के लिए धन्यवाद स्ट्रिंग सिद्धांत और जल-गत्यात्मकता की अराजकता का विस्तार किया समीकरणों बाहर खड़ा था।

थ्योरी सेट करें। कैंटर

अनंत की अवधारणा हमेशा की तरह, विवाद उत्पन्न किया है के रूप में यह साबित या खंडन करना असंभव था। गणित के संदर्भ है, जो सख्ती से सत्यापित तत्वों संचालित है में, यह अपने आप में सबसे स्पष्ट रूप से प्रकट होता है, और अधिक है कि धार्मिक पहलू अभी भी विज्ञान के क्षेत्र में तौला।

हालांकि, गणितज्ञ जोर्ज कैंटर के काम के माध्यम हर समय जगह में गिर गई। उन्होंने साबित किया एक अनंत सेट है वहाँ, और कहा कि क्षेत्र अनुसंधान क्षेत्र एन से अधिक है, उन दोनों के जाने और कोई अंत नहीं है कि अनंत सेट। उन्नीसवीं सदी के मध्य में, उनके विचारों को सार्वजनिक रूप से बकवास और शास्त्रीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत के खिलाफ एक अपराध कहा जाता है, लेकिन समय अपनी जगह में सब कुछ डाल देंगे।

क्षेत्र आर के मूल गुण

वास्तविक संख्या केवल podmozhestva रूप में एक ही गुण है कि वे शामिल नहीं है, लेकिन उसके तत्वों के आधार पर अन्य masshabnosti के पूरक हैं:

• शून्य आर मौजूद है और आर के किसी भी ग के लिए क्षेत्र सी + = ग 0 के अंतर्गत आता है
• शून्य से मौजूद है और आर के किसी भी ग के लिए क्षेत्र आर सी एक्स 0 = 0 के अंतर्गत आता है
• अनुपात ग: d जब घ ≠ 0 से मौजूद है और किसी भी ग के लिए मान्य है, आर के घ
• फील्ड आर, आदेश दिया अर्थात अगर ग ≤ घ, घ ≤ ग, तो c = किसी भी ग के लिए घ, आर के घ
• क्षेत्र अनुसंधान में इसके अलावा विनिमेय है, यानि कि सी + d = d + ग, किसी भी ग के लिए, आर के घ
• क्षेत्र अनुसंधान में गुणा, विनिमेय है अर्थात एक्स सी एक्स d = घ सभी सी के लिए सी, आर के घ
• क्षेत्र अनुसंधान में इसके अलावा, साहचर्य अर्थात (ग + घ) + एफ = सी + (घ + च) किसी भी ग के लिए, डी है आर के च
• क्षेत्र अनुसंधान में गुणा साहचर्य है अर्थात (ग x घ) x च = c एक्स (घ एक्स च) किसी भी सी, डी के लिए, आर के च
• वहाँ यह करने के लिए क्षेत्र आर विपरीत से प्रत्येक संख्या, ऐसा है कि के लिए सी + (-c) = 0, जहां सी, आर से -c
• क्षेत्र आर के प्रत्येक संख्या इसके उलटा, मौजूद है के लिए ऐसी है कि सी एक्स सी ^-1 = 1 जहां सी, सी ^-1 आर के
• यूनिट मौजूद है और, आर के अंतर्गत आता है, इसलिए है कि सी एक्स 1 = ग, आर के किसी भी ग के लिए
• यह शक्ति कानून वितरण है ताकि सी एक्स (घ + एफ) = सी एक्स घ + स x च, किसी भी ग के लिए, डी, आर के च
• आर क्षेत्र शून्य एकता के बराबर नहीं है।
• फील्ड आर सकर्मक है: अगर ग ≤ घ, घ ≤ च, तो सी ≤ च आर के किसी भी सी, डी के लिए, च
• आर और इसके अलावा आदेश में जुड़े हुए हैं: अगर ग ≤ घ, तो सी + च ≤ d + सभी सी, डी के लिए च, आर के च
• लिंक किए गए अनुसंधान और गुणा के आदेश में: अगर 0 ≤ ग, घ 0 ≤, तो किसी भी ग के लिए 0 ≤ सी एक्स डी, आर के घ
• के रूप में नकारात्मक और सकारात्मक वास्तविक संख्या निरंतर कर रहे हैं, जैसे कि, किसी भी ग के लिए, आर एफ के घ, वहाँ आर, कि सी ≤ च ≤ घ से मौजूद है।

मॉड्यूल क्षेत्र आर

वास्तविक संख्या एक मॉड्यूल के रूप में ऐसी कोई बात शामिल है। के रूप में यह मनोनीत | | f आर में किसी भी च के लिए | F | = एफ, अगर ≤ च और 0 | च | = -f, अगर 0> च। अगर हम एक ज्यामितीय मूल्य के रूप में मॉड्यूल पर विचार, यह एक दूरी है - यह कोई फर्क नहीं पड़ता, आप शून्य के रूप में नकारात्मक में सकारात्मक या आगे के लिए "पारित कर दिया"।

परिसर और वास्तविक संख्या। समानता और अंतर क्या हैं?

बाद में, बड़े जटिल और वास्तविक संख्या - वे एक हैं और एक ही है, सिवाय इसके कि पहले काल्पनिक इकाई मैं शामिल हो गए, जिनमें से वर्ग -1 के बराबर है। तत्वों आर-प्रांगण और सी निम्न सूत्र द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

• ग = घ + एफ एक्स मैं, जिसमें डी, क्षेत्र अनुसंधान से संबंधित च, और मैं - काल्पनिक इकाई।

इस मामले बस, शून्य माना यानी आर च की सी प्राप्त करने के लिए, वहाँ केवल संख्या का वास्तविक हिस्सा है। क्योंकि जटिल संख्याओं के क्षेत्र में एक ही सुविधा वास्तविक के क्षेत्र के रूप में स्थापित, च एक्स मैं = 0 यदि एफ = 0 है।

संबंध व्यावहारिक मतभेद के साथ, क्षेत्र अनुसंधान में उदाहरण के लिए द्विघात समीकरण यदि विभेदक, नकारात्मक है, जबकि सी बॉक्स काल्पनिक इकाई मैं शुरू करने से इस सीमा को लागू नहीं करता हल नहीं किया जा सकता है।

परिणाम

सूक्तियों के "ईंटों" और postulates जिस पर आधार गणित, नहीं बदलते। जानकारी की वृद्धि और नए सिद्धांतों के परिचय के कारण उनमें से कुछ पर निम्नलिखित "ईंटों" है, जो भविष्य में अगले कदम के लिए आधार बन सकते हैं रखा। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्या, तथ्य यह है कि वे असली क्षेत्र अनुसंधान का एक सबसेट है के बावजूद, अपनी प्रासंगिकता खो नहीं है। यह उनके लिए सभी प्राथमिक गणित, जो शांति के एक आदमी के ज्ञान के साथ शुरू होता का आधार है।

देखने के एक व्यावहारिक बिंदु से, वास्तविक संख्या एक सीधी रेखा की तरह लग रहे। यह एक दिशा चुनने के लिए, मूल और पिच की पहचान करना संभव है। प्रत्यक्ष अंक की एक अनंत संख्या, जिनमें से प्रत्येक, एक भी वास्तविक संख्या से मेल खाती है या नहीं, तर्कसंगत की परवाह किए बिना के होते हैं। विवरण से यह स्पष्ट है कि हम अवधारणा है, जो सामान्य रूप में आधारित है गणित, और के बारे में बात कर रहे हैं गणितीय विश्लेषण विशेष रूप से।