Riemann हाइपोथीसिस। रूढ़ अंक का वितरण

1900 में, पिछली सदी के महानतम वैज्ञानिकों में से एक, डेविड हिल्बर्ट गणित के 23 अनसुलझी समस्याओं से मिलकर एक सूची बनाई। उन पर कार्य मानव ज्ञान के इस क्षेत्र के विकास पर एक जबरदस्त प्रभाव पड़ा है। क्ले गणितीय संस्थान में 100 वर्षों के बाद सात समस्याओं, मिलेनियम उद्देश्यों के रूप में जाना की एक सूची प्रस्तुत किया। उनमें से प्रत्येक के निर्णय के लिए $ 1 मिलियन पुरस्कार की पेशकश की गई थी।

केवल समस्या है, जो पहेली की दो सूचियों के बीच में था, सदियों वैज्ञानिकों के बाकी नहीं दिया के लिए, रिएमन्न परिकल्पना बन गया। वह अभी भी अपने फैसले के लिए इंतजार कर रहा है।

संक्षिप्त जीवनी संबंधी जानकारी

जॉर्ज फ्रेडरिक बर्नहार्ड रिएमन्न 1826 में हनोवर में पैदा हुआ था, एक गरीब पादरी के एक बड़े परिवार में, और केवल 39 वर्ष से रहते थे। उन्होंने कहा कि 10 के कागजात को प्रकाशित करने में कामयाब रहे। हालांकि, Riemann के जीवन के दौरान वह अपने शिक्षक जोहान गॉस के एक उत्तराधिकारी माना। 25 साल की उम्र में युवा वैज्ञानिक अपने शोध बचाव किया कि "एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत की नींव।" बाद में उन्होंने अपनी इस परिकल्पना है, जो मशहूर हो गया तैयार की।

अभाज्य

गणित आया जब आदमी गिनती करने के लिए सीखा है। तब संख्या, जो बाद में वर्गीकृत करने के लिए करने की कोशिश की के पहले विचार पैदा हुई। यह देखा गया है कि उनमें से कुछ आम गुणों है। विशेष रूप से, प्राकृतिक संख्या एम। ई उन जो गणना (क्रमांकन) में इस्तेमाल किया गया या आइटम के नामित संख्या के बीच जो केवल एक ही है और खुद से विभाजित कर रहे इस तरह के के एक समूह आबंटित किया गया है। वे साधारण कहा जाता था। अपने 'तत्व "यूक्लिड द्वारा दिए गए नंबरों की प्रमेय अनंत सेट के एक सुरुचिपूर्ण सबूत। इस समय, हम उनकी खोज जारी है। विशेष रूप से, के ज्ञात ² 74207281 एक नंबर का सबसे बड़ा - 1।

यूलर सूत्र

असीम कई अभाज्य संख्या की धारणा यूक्लिड परिभाषित और दूसरा प्रमेय ही संभव गुणन के साथ। इसके अनुसार किसी भी सकारात्मक पूर्णांक का अभाज्य का केवल एक सेट का उत्पाद है। 1737 में, महान जर्मन गणितज्ञ लिओनहार्ड यूलर सूत्र नीचे दिखाया गया है की अनंत पर यूक्लिड के प्रमेय के पहले व्यक्त की है।

एक निरंतर और पी सब सरल मूल्यों है - यह जीटा समारोह है, जहां रों कहा जाता है। यह से सीधे पीछा किया और यूक्लिड के विस्तार की विशिष्टता के अनुमोदन।

Riemann जीटा समारोह

करीब निरीक्षण पर यूलर सूत्र बहुत उल्लेखनीय सरल और पूर्णांकों के बीच का अनुपात द्वारा दिए गए के रूप में है। सब के बाद, उसके बाईं ओर में असीम कई भाव इतना आसान पर केवल निर्भर गुणा किया जाता है, और सही मात्रा में सभी सकारात्मक पूर्णांकों के साथ जुड़ा हुआ है।

Riemann यूलर पर चला गया। क्रम संख्या के वितरण की समस्या की कुंजी खोजने के लिए, यह दोनों वास्तविक और जटिल चर के लिए सूत्र को परिभाषित करने का प्रस्ताव है। यह वह था जो बाद में Riemann जीटा समारोह के रूप में जाना जाने लगा। 1859 में वैज्ञानिक एक लेख है, जो उनकी सभी विचारों को अभिव्यक्त किया "अभाज्य संख्या की संख्या है कि एक पूर्व निर्धारित मूल्य से अधिक नहीं है पर" प्रकाशित किया।

Riemann सभी वास्तविक रों> 1 के लिए यूलर के एक नंबर, संसृत के उपयोग का प्रस्ताव। एक ही सूत्र जटिल रों के लिए इस्तेमाल किया जाता है, तो श्रृंखला असली भाग के साथ चर के किसी भी मूल्य के लिए अभिसरण होगा 1. एक से अधिक Riemann सभी जटिल संख्या के लिए जीटा (रों) की परिभाषा का विस्तार है, लेकिन इकाई "फेंक" द्वारा प्रक्रिया के विश्लेषणात्मक निरंतरता का इस्तेमाल किया है। यह संभव नहीं था, एस = यदि क्योंकि अनंत को 1 जीटा समारोह बढ़ जाती है।

व्यावहारिक भावना

सवाल उठता है: रोचक और महत्वपूर्ण जीटा समारोह है, जो शून्य परिकल्पना पर Riemann के काम में महत्वपूर्ण है क्या है? आप जानते हैं, इस समय एक सरल पैटर्न है कि प्राकृतिक के बीच रूढ़ अंक के वितरण का वर्णन नहीं मिला। Riemann पता लगाने के लिए इस बात का अनुकरणीय रूढ़ अंक है जो x से बेहतर नहीं हैं (एक्स) संख्या, nontrivial शून्य जीटा समारोह के वितरण से व्यक्त किया जाता है में सक्षम। इसके अलावा, रिएमन्न परिकल्पना आदेश है जो कुछ क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिथम के अस्थायी मूल्यांकन साबित करने के लिए में एक आवश्यक शर्त है।

रिएमन्न परिकल्पना

इस गणितीय समस्या के पहले योगों में से एक, इस दिन के लिए साबित नहीं, यह है: तुच्छ 0 जीटा समारोह - असली भाग के साथ जटिल संख्या साढ़े के बराबर। दूसरे शब्दों में, वे एक सीधी रेखा पुन रों = ½ पर व्यवस्थित कर रहे हैं।

वहाँ भी एक सामान्यीकृत रिएमन्न परिकल्पना, जो एक ही बयान है, लेकिन जेटा-काम करता है, जो Dirichlet कहा जाता है का सामान्यीकरण के लिए (देखें। नीचे फोटो) एल कार्य करता है।

एक संख्यात्मक चरित्र (आधुनिक ट) - सूत्र χ (एन) में।

के रूप में मौजूदा नमूना डेटा के साथ स्थिरता के लिए सत्यापित किया गया है Riemann का बयान, तथाकथित शून्य परिकल्पना है।

जैसा कि मैंने Riemann तर्क दिया

नोट जर्मन गणितज्ञ मूल रूप से काफी लापरवाही से तैयार किया गया था। तथ्य यह है कि उस समय वैज्ञानिक रूढ़ अंक के वितरण पर एक प्रमेय साबित करने के लिए जा रहा था, और इस संदर्भ में, इस परिकल्पना ज्यादा प्रभाव नहीं पड़ता है। हालांकि, कई अन्य मुद्दों को संबोधित करने में अपनी भूमिका बहुत बड़ा है। यही कारण है कि के लिए रिएमन्न परिकल्पना अब कई वैज्ञानिकों अप्रमाणित गणितीय समस्याओं के महत्वपूर्ण पहचान है।

जैसा कि कहा गया है, पूर्ण रिएमन्न परिकल्पना के वितरण पर प्रमेय साबित करने के लिए आवश्यक नहीं है, और काफी तार्किक साबित होता है कि जीटा समारोह के किसी भी गैर तुच्छ शून्य की वास्तविक हिस्सा 0 और 1. के बीच यह संपत्ति का तात्पर्य है कि सभी 0-मीटर का योग जीटा समारोह है कि ऊपर सटीक सूत्र में दिखाई देते हैं, - परिमित निरंतर। एक्स के बड़े मूल्यों के लिए, यह सब खो दिया जा सकता है। सूत्र है, जो बहुत ही उच्च एक्स में भी कोई बदलाव नहीं होगा के एकमात्र सदस्य, एक्स खुद है। यह के साथ तुलना में जटिल मामले के बाकी asymptotically गायब हो जाते हैं। इस प्रकार, भारित योग एक्स जाता है। इस तथ्य को अभाज्य संख्या प्रमेय की सच्चाई का सबूत के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार, Riemann जीटा समारोह शून्य एक विशेष भूमिका दिखाई देता है। यह साबित होता है कि इन मूल्यों को विस्तार सूत्र के लिए महत्वपूर्ण योगदान नहीं कर सकता है।

Riemann अनुयायियों

तपेदिक से दुखद मौत वैज्ञानिक कार्यक्रम के तार्किक अंत करने के लिए लाने के लिए रोका। हालांकि, उन्होंने डब्ल्यू एफ की कमान संभालें ले लिया। डे ला Vallée Poussin और ज़ाक अडमर। स्वतंत्र रूप से एक दूसरे के वे अभाज्य संख्या प्रमेय वापस ले लिया था। Hadamard और पोसिन साबित होता है कि सभी nontrivial 0 जीटा समारोह महत्वपूर्ण बैंड के भीतर स्थित हैं में कामयाब रहे।

इन वैज्ञानिकों के कार्य के लिए धन्यवाद, गणित की एक नई शाखा - संख्या के विश्लेषणात्मक सिद्धांत। बाद में, अन्य शोधकर्ताओं प्रमेय रोम में काम कर रहा था की एक छोटे से अधिक आदिम प्रमाण प्राप्त हुआ है। विशेष रूप से, पाल Erdös और एटले सेलबर्ग भी तर्क की अपनी अत्यधिक जटिल श्रृंखला की पुष्टि खोला है, जटिल विश्लेषण के उपयोग की आवश्यकता नहीं। हालांकि, इस बिंदु पर कई महत्वपूर्ण प्रमेयों द्वारा Riemann के विचार संख्या सिद्धांत के कई कार्यों का अनुमान सहित साबित किया गया है। इस नए काम Erdős और एटले सेलबर्ग के संबंध में लगभग कुछ भी प्रभावित नहीं।

समस्या का सबसे आसान और सबसे सुंदर सबूत में से एक डोनाल्ड न्यूमैन द्वारा 1980 में पाया गया है। यह अच्छी तरह से ज्ञात कॉची प्रमेय पर आधारित था।

धमकी दी Riemann की परिकल्पना आधुनिक क्रिप्टोग्राफी का आधार है

डेटा एन्क्रिप्शन पात्रों की उपस्थिति के साथ उभरा है, या बल्कि, वे खुद को पहले कोड के रूप में माना जा सकता है। फिलहाल, वहाँ डिजिटल क्रिप्टोग्राफी, जो एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम के विकास में लगी हुई है की एक पूरी नई प्रवृत्ति है।

सरल और "semisimple" संख्या एम। ई उन है जो केवल एक ही कक्षा के दो अन्य संख्या में बांटा जाता है, एक सार्वजनिक कुंजी प्रणाली, आरएसए के रूप में जाना का आधार हैं। यह एक विस्तृत आवेदन किया है। विशेष रूप से, यह एक इलेक्ट्रॉनिक हस्ताक्षर के उत्पादन में प्रयोग किया जाता है। हम उपलब्ध "चाय की केतली" के संदर्भ में बात करते हैं, तो रिएमन्न परिकल्पना रूढ़ अंक के वितरण में प्रणाली के अस्तित्व का दावा है। इस प्रकार, काफी क्रिप्टोग्राफ़िक कुंजी का प्रतिरोध, जिस पर ई-कॉमर्स में ऑनलाइन लेनदेन की सुरक्षा निर्भर करता है कम कर दिया।

अन्य अनसुलझी गणितीय समस्याओं

पूरा लेख सहस्राब्दी के अन्य कार्यों के लिए कुछ शब्द समर्पित लायक है। इनमें शामिल हैं:

• वर्गों पी और एनपी की समानता। यदि किसी विशेष प्रश्न के लिए एक सकारात्मक जवाब बहुपद समय में सत्यापित है, तो यह सच वह खुद को इस सवाल का जवाब जल्दी से पाया जा सकता है है: समस्या इस प्रकार तैयार की जाती है?
• हॉज अनुमान। सरल शब्दों में यह इस प्रकार कहा जा सकता है: प्रक्षेपीय बीजीय manifolds के कुछ प्रकार के लिए (रिक्त स्थान) हॉज चक्र वस्तुओं एक ज्यामितीय व्याख्या, यानी बीजीय चक्र है के संयोजन कर रहे हैं ...
• पोंकारे अनुमान। यह केवल पल सहस्राब्दी समस्याओं पर सिद्ध है। इसके अनुसार किसी भी तीन आयामी 3 आयामी क्षेत्र के विशिष्ट गुण होने वस्तु, क्षेत्र विरूपण करने के लिए सही होना चाहिए।
• मिल्स सिद्धांत - क्वांटम यांग का अनुमोदन। हम जानते हैं कि क्वांटम सिद्धांत को साबित अंतरिक्ष अनुसंधान ⁴ करने के लिए इन वैज्ञानिकों द्वारा आगे डाल करने के लिए की जरूरत ^है, वहाँ एक कॉम्पैक्ट समूह जी के किसी भी सरल अंशांकन के लिए 0-जन दोष है
• बिर्च की परिकल्पना - Swinnerton-डायर। यह एक और समस्या यह है कि क्रिप्टोग्राफी के लिए प्रासंगिक है। यह अंडाकार घटता से संबंधित है।
• स्टोक्स समीकरणों - अस्तित्व और नेवियर के समाधान की चिकनाई की समस्या।

अब आप रिएमन्न परिकल्पना पता है। सरल शब्दों में, हम तैयार की और सहस्राब्दी के अन्य उद्देश्यों में से कुछ है। तथ्य यह है कि वे या का समाधान हो जाएगा यह साबित हो जाता है कि वे कोई समाधान नहीं है - यह समय की बात है। और यह बहुत लंबा इंतजार करना, के रूप में गणित तेजी से कंप्यूटर के कम्प्यूटेशनल शक्ति का उपयोग कर रहे है की संभावना नहीं है। हालांकि, नहीं सब कुछ कला के अधीन है और वैज्ञानिक समस्याओं को हल करने में मुख्य रूप से अंतर्ज्ञान और रचनात्मकता की आवश्यकता है।