आधार गणितीय विश्लेषण। कैसे व्युत्पन्न खोजने के लिए?

एक समारोह f (x) तर्क की वेतन वृद्धि के लिए एक विशिष्ट बिंदु x0 समारोह बुलाया विकास अनुपात सीमा पर के व्युत्पन्न, कि एक्स प्रदान की 0 हो सकता है, और सीमा से मौजूद है। व्युत्पन्न आम तौर पर नामित स्ट्रोक, कभी कभी बिंदु के माध्यम से या एक अंतर के माध्यम से। अक्सर, सीमा पार से भ्रामक परिणाम के व्युत्पन्न, के बाद से इस तरह के एक प्रतिनिधित्व शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है।

समारोह है, जो एक खास बिंदु x0 पर व्युत्पन्न है, इस तरह के एक बिंदु पर जो विभेदक कहा जाता है। मान लें, डी 1 - अंक की अधिकता है, जिस पर समारोह च विभेदित है। प्रत्येक के लिए नियत की संख्या एक एक्स, संबंधित डी एफ '(x), हम समारोह पदनाम क्षेत्र डी 1 प्राप्त करते हैं। इस समारोह y = f (x) के व्युत्पन्न है। '(X) च: के रूप में नामित किया गया है।

इसके अलावा, व्युत्पन्न आमतौर पर भौतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग में इस्तेमाल किया। एक साधारण उदाहरण पर विचार करें। एक समन्वय अक्ष, पर सामग्री बिंदु चाल जब उनसे पूछा गया कि प्रस्ताव का कानून है, कि है, इस बात का x- निर्देशांक में जाना जाता है एक्स (टी) समारोह। t0 से t0 + टी करने के लिए समय अंतराल के दौरान की बात एक्स (t0 + टी) -x (t0) = x विस्थापन के बराबर होती है, और इसकी औसत गति वी (टी) बराबर एक्स / टी करने के लिए।

कभी कभी प्रस्तुत ताकि औसत गति छोटे समय अंतराल पर परिवर्तन नहीं करता है गति, जिसका अर्थ है कि सटीकता का एक बड़ा डिग्री के साथ आंदोलन माना जाता है की प्रकृति के समान होने की। वैकल्पिक रूप से, औसत के मान गति t0 कुछ बिल्कुल सटीक मूल्य के लिए इस प्रकार है, और तात्कालिक गति वी (t0) समय t0 की एक विशेष क्षण में उस बिंदु के रूप में भेजा जाता है। माना जाता है कि तात्कालिक गति वी (टी) के लिए किसी भी अलग-अलग समारोह एक्स (टी), क्या वी (टी) में जाना जाता है एक्स के लिए '(टी) के बराबर है। सीधे शब्दों में कहें, गति - यह समय के निर्देशांक की एक व्युत्पन्न है।

तात्कालिक वेग दोनों सकारात्मक और नकारात्मक मूल्य हैं और मूल्य 0. है अगर यह एक निश्चित समय अंतराल (t1; t2) में है सकारात्मक है, तो एक ही दिशा में बिंदु चाल, जैसे कि, एक्स (टी) समय के साथ बढ़ जाती है समन्वय, और अगर वी (टी) नकारात्मक है, तो समन्वय एक्स (टी) कम हो जाती है।

और अधिक जटिल मामलों में, बिंदु विमान में या अंतरिक्ष में ले जाता है। तब के वेग - एक सदिश राशि है, और एक वेक्टर वी (टी) के निर्देशांक के प्रत्येक निर्धारित करता है।

इसी तरह, एक बिंदु के त्वरण तुलना कर सकते हैं। स्पीड समय के एक समारोह, यानी, वी = वी (टी) है। इस तरह के एक समारोह के एक व्युत्पन्न - गति त्वरण: एक = वी '(टी)। कि है, यह पता चला है कि गति के समय व्युत्पन्न त्वरण है।

मान लीजिए y = f (x) - किसी भी अलग-अलग कार्य करते हैं। फिर हम जो कानून एक्स = च (टी) के लिए जगह लेता समन्वय अक्ष, पर एक बिंदु की गति पर विचार कर सकते हैं। व्युत्पन्न के यांत्रिक रखरखाव प्रमेयों की एक स्पष्ट व्याख्या प्रदान करने का अवसर देता अंतर पथरी की।

कैसे व्युत्पन्न खोजने के लिए? व्युत्पन्न ढूँढना एक समारोह के अपने भेदभाव कहा जाता है।

कैसे समारोह के व्युत्पन्न खोजने के लिए के अपने उदाहरण रखें:

के व्युत्पन्न एक निरंतर समारोह शून्य के बराबर; समारोह y = एक्स के व्युत्पन्न एकता के बराबर है।

और कैसे अंश के व्युत्पन्न को खोजने के लिए? ऐसा करने के लिए, पर विचार निम्नलिखित सामग्री:

किसी भी x0 के लिए <> 0 हमारे पास

y / एक्स = -1 / x0 * (x + x)

वहाँ कुछ नियम हैं, कैसे व्युत्पन्न को खोजने के लिए कर रहे हैं। अर्थात्:

(ए + बी) '= ए' + बी ': कार्यों ए और बी विभेदित बिंदु x0 हैं, तो उनका योग एक बिंदु पर विभेदित है। सीधे शब्दों में कहें, एक योग डेरिवेटिव की राशि के बराबर के व्युत्पन्न। समारोह कुछ बिंदु पर विभेदित है, तो यह जब शून्य लाभ के लिए तर्क निम्नलिखित शून्य करने के लिए बढ़ाने के चाहिए।

(ए * बी) '= A'B + एबी': कार्यों ए और बी विभेदित बिंदु x0 रहे हैं, तो अपने उत्पाद पर विभेदित है। (मान कार्यों और उनके डेरिवेटिव बिंदु x0 पर गणना कर रहे हैं)। समारोह एक (एक्स) बिंदु x0 में विभेदित है, और सी है - निरंतर, तो सीए समारोह इस बिंदु और (CA) '= सीए' पर विभेदित है। यही कारण है, एक निरंतर कारक व्युत्पन्न के हस्ताक्षर के बाहर ले लिया है।

(ए / बी) '= (A'B-एबी') / बी * बी: कार्यों ए और बी विभेदित बिंदु x0 हैं, और समारोह बी शून्य के बराबर नहीं है, तो उनके अनुपात भी कम से विभेदित