कैसे चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने?

विमान लगातार कई खंड बनाएं गया है ताकि एक बिंदु जहां पिछले एक समाप्त हो गया पर शुरू कर देना चाहिए, हम एक टूटी हुई लाइन प्राप्त करते हैं। सबसे ऊपर - ये सेगमेंट नामक लिंक, और स्थानों पर जहां वे एक दूसरे को काटना है। अंतिम खंड के अंत पहले प्रारंभिक बिंदु काटती है, तो हम उसका बंद कर दिया टूटी हुई लाइन, जो दो भागों में बांटता विमान प्राप्त करते हैं। उनमें से एक परिमित है, और दूसरा अनंत है।

एक विमान के संलग्न हिस्सा (जो कि परिमित है) के साथ सरल बंद वक्र एक बहुभुज कहा जाता है। खंडों पार्टियां हैं, और कोण उन्हें द्वारा गठित - सबसे ऊपर है। किसी भी कोने की संख्या के बराबर बहुभुज की भुजाओं की संख्या। एक आंकड़ा जो तीन पक्ष हैं, एक त्रिकोण कहा जाता है, लेकिन चार - एक चतुर्भुज। बहुभुज संख्यानुसार क्षेत्र है जो आंकड़ा के आकार को दर्शाता रूप में इस तरह के परिमाण की विशेषता। कैसे चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने? ज्यामिति - गणित की एक शाखा द्वारा सिखाया।

एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, यह पता करने के लिए किस प्रकार से वह संबंधित आवश्यक है - उत्तल या nonconvex? उत्तल बहुभुज पूरे एक ही तरफ अपेक्षाकृत सीधे है (और यह किसी भी दल के शामिल होना चाहिए)। इसके अलावा, चतुर्भुज के प्रकार परस्पर बराबर और विपरीत दिशा में समानांतर (विविधता उसे सीधे कोनों, बराबर भुजाओं के साथ समचतुर्भुज, सभी समकोण और चार बराबर पक्षों के साथ वर्ग के साथ आयत), समलम्ब दो समानांतर विपरीत दिशा में और साथ साथ एक समानांतर चतुर्भुज के रूप में कर रहे हैं आसन्न पक्षों के दो जोड़े के साथ त्रिभुजाकार बराबर हैं।

वर्गों किसी भी बहुभुज एक आम तरीका, त्रिकोण में इसे तोड़ने के लिए है जो प्रयोग कर रहे हैं, प्रत्येक त्रिकोण मनमाने ढंग से क्षेत्र की गणना करने और इन परिणामों गुना। किसी भी उत्तल चतुर्भुज दो त्रिकोण, nonconvex में बांटा गया है - दो या तीन त्रिकोण के, के क्षेत्र इस मामले में यह राशि और परिणाम के अंतर से मिलकर कर सकते हैं। किसी भी त्रिकोण के क्षेत्र, (क) ऊंचाई (ज) के आधार उत्पाद के आधे के रूप में गणना आधार पर किया जाता है। • एक • एच एस = ½: सूत्र जो गणना के लिए इस मामले में प्रयोग किया जाता है के रूप में लिखा है।

कैसे एक चतुर्भुज का क्षेत्र, उदाहरण के लिए, एक समानांतर चतुर्भुज को खोजने के लिए? यह आधार (क), एक पक्ष की लंबाई (ƀ) की लंबाई को जानते हैं और सूत्र की गणना के लिए, कोण α की ज्या, बेस की ओर (sinα) द्वारा गठित लगाने के लिए आवश्यक है के रूप में है: एस = एक • ƀ • sinα। चूंकि कोण α की ज्या उसकी ऊंचाई पर एक समानांतर चतुर्भुज का एक आधार का उत्पाद है (एच = ƀ) - आधार के लिए लम्बवत एक रेखा, अपने क्षेत्र उसके आधार की ऊँचाई गुणा किया जाता है: एस = एक • एच। एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए और एक आयत भी इस सूत्र फिट बैठता है। चूंकि आयत के पार्श्व पक्ष ऊंचाई ƀ एच के साथ मेल खाता है, अपने क्षेत्र सूत्र एस = एक • ƀ करके की जाती है। वर्ग के क्षेत्र, एस = एक • एक = a²: क्योंकि एक = ƀ, अपने पक्ष के वर्ग के बराबर हो जाएगा । समलम्ब के क्षेत्र इसके पक्ष है, ऊंचाई से गुणा के आधे राशि के रूप में गणना की जाती है (यह करने के लिए खड़ा समलम्ब के आधार पर आयोजित किया जाता है): एस = ½ • (एक + ƀ) • एच।

यदि इसके पक्ष की अज्ञात लंबाई, लेकिन के लिए अपने विकर्ण (ई) में जाना जाता है कैसे, चौकोर का क्षेत्रफल ज्ञात करने और (च), और कोण α की ज्या? इस मामले में क्षेत्र में अपनी विकर्णों (लाइनों कि बहुभुज के कोणबिंदु कनेक्ट), कोण α की ज्या से गुणा के आधे उत्पाद के रूप में गणना की जाती है। एस = साढ़े • (ई • च) • sinα: सूत्र इस रूप में लिखा जा सकता है। विशेष रूप से समचतुर्भुज क्षेत्र इस मामले में विकर्णों के आधे उत्पाद के बराबर (लाइनों एक समचतुर्भुज के विपरीत कोनों को जोड़ने) हो जाएगा: एस = साढ़े • (ई • च)।

एक चतुर्भुज, जो एक समानांतर चतुर्भुज या एक समलम्ब नहीं है का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कैसे, यह आमतौर पर एक मनमाना आयत के रूप में जाना जाता है। आंकड़ा के क्षेत्र इसके आधे परिधि (Ρ - एक आम शिखर के साथ दोनों पक्षों की राशि) के रूप में व्यक्त, पक्ष, ƀ, सी, डी, और दो विपरीत कोण (α + β) की राशि: एस = √ [(Ρ - एक) • (Ρ - ƀ) • (Ρ - ग) • (Ρ - घ) - एक • ƀ • सी • घ • cos² साढ़े (α + β)]।

चतुर्भुज एक सर्कल में खुदा हैं, और φ = 180 डिग्री है, ताकि अपने क्षेत्र में प्रयोग किया जाता ब्रह्मगुप्त सूत्र (भारतीय खगोलविद् और गणितज्ञ, जो 6-7 शताब्दी में रहते थे) की गणना करने में: एस = √ [(Ρ - एक) • (Ρ - ƀ) • (Ρ - ग) • (Ρ - घ)]। चतुर्भुज परिधि, तो (क + c = ƀ + घ) वर्णित है, और अपने क्षेत्र की गणना की जाती है: एस = √ [एक • ƀ • सी • घ] • पाप साढ़े (α + β)। एस = √ [एक • ƀ • सी • घ]: चौकोर को एक साथ एक से दूसरे चक्र और खुदा चक्र वर्णन किया गया है, तो क्षेत्र निम्न सूत्र की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया।